속도와 가속도 연습문제 — CLP-1 · 3.1절 · 17번

CLP-1 · 3.1절 · 17번우리말 번역

어떤 물체가 매초 속도가 두 배가 되도록 움직인다고 하자. 이 물체의 가속도를 나타내는 식을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose an object is moving so that its velocity doubles every second. Give an expression for the acceleration of the object.

정답·풀이 보기

$v(t)$ 를 물체의 속도라 하자. 주어진 정보로부터 다음을 얻는다.

$v(0)$ 은 어떤 값이며, 이를 $v_0$ 이라 한다,
$v(1)=2v_0$ (첫 번째 1초 동안 속력이 두 배가 되었으므로),
$v(2)=2(2)v_0$ (두 번째 1초 동안 속력이 두 배가 되었으므로),
$v(3)=2(2)(2)v_0$ , 이와 같은 식으로 계속된다. 따라서 일반적인 $t$ 에 대해 다음이 성립한다. $v(t)=2^tv(0)$ 가속도를 구하기 위해 간단히 미분하면 된다. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2^x\}=2^x\log 2$ 임을 기억하자. 여기서 $\log$ 는 밑이 $e$ 인 로그를 뜻한다. $a(t)=2^tv_0\log 2$ 참고: $a(t)=v(t)\log 2$ 로 쓸 수도 있다. 가속도 역시 매초 두 배가 된다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $v(t)$ be the velocity of the object. From the given information:

$v(0)$ is some value, call it $v_0$ ,
$v(1)=2v_0$ (since the speed doubled in the first second),
$v(2)=2(2)v_0$ (since the speed doubled in the second second),
$v(3)=2(2)(2)v_0$ , and so on. So, for general $t$ : $v(t)=2^tv(0)$ To find its acceleration, we simply differentiate. Recall $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2^x\}=2^x\log 2$ , where $\log$ denotes logarithm base $e$ . $a(t)=2^tv_0\log 2$ Remark: we can also write $a(t)=v(t)\log 2$ . The acceleration doubles every second as well.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.1절 · 16번우리말 번역

당신은 트램펄린 가장자리에서 처음 위쪽 속도 초속 $1$ 미터로 뛰어오릅니다. 공중에 있는 동안 중력 때문에 당신의 감속도는 일정하게 초당 $9.8$ 미터씩 매초 늘어납니다. 트램펄린에 닿은 뒤 떨어지는 동안에는 당신의 속력이 초당 $4.9$ 미터마다 매초씩 줄어듭니다. 점프의 최고점부터 트램펄린 위에서 가장 낮은 지점까지 몇 초가 지나는지 구하세요.

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(1) 뛰어오른 뒤 트램펄린에 닿기 전과 (2) 트램펄린 속으로 떨어지는 동안에는 서로 다른 힘이 작용한다. 두 경우 모두 가속도가 상수이므로 두 높이 함수는 모두 $\frac{a}{2}t^2+vt+h$ 꼴의 이차함수이다. 여기서 $a$ 는 가속도, $v$ 는 $t=0$ 일 때의 속도, $h$ 는 처음 높이이다.

먼저 (1), 즉 점프하는 동안 발이 트램펄린에 닿기 전의 시간을 생각하자. $t=0$ 을 뛰어오른 순간으로 하고, 트램펄린 가장자리의 높이를 $0$ 으로 하자. 처음 속도가 (양수) 초속 $1$ 미터였으므로 높이는 다음과 같다. $h_1(t)=\frac{-9.8}{2}t^2+t=t\left(\frac{-9.8}{2}t+1\right)$ 가속도가 양의 속도와 반대로 작용하므로 음의 부호가 붙는다는 점에 주의한다.
떨어지다가 발이 처음 트램펄린에 닿을 때의 속도를 알아야 한다. 점프한 뒤 발이 처음 트램펄린에 닿는 시각은 바로 $h_1(t)=0$ 이고 $t>0$ 일 때이다. 즉 $t=\frac{2}{9.8}$ 일 때이다. 이제 $h'(t)=-9.8t+1$ 이므로 $h'\left(\frac{2}{9.8}\right)=-9.8\left(\frac{2}{9.8}\right)+1=-1$ 이다. 따라서 발이 트램펄린에 닿는 순간 당신은 초속 1 미터로 내려가고 있다.

참고: 이 값이 처음 속력과 같은 것은 우연만은 아니다. 포물선의 대칭성과 에너지 보존을 생각해 보자.

이제 트램펄린이 낙하를 늦추는 동안의 높이를 생각해야 한다. 일반식 $\frac{a}{2}t^2+vt+h$ 에서 $v$ 는 $t=0$ 일 때의 속도라는 점을 기억하자. 그런데 트램펄린에 닿는 시각은 $t=0$ 이 아니라 $t=\frac{2}{9.8}$ 이다. 간단히 하기 위해 여정의 두 번째 부분에는 다른 시간 척도를 쓰자. 발이 트램펄린 표면에 닿는 순간( $T=0$ )부터 낙하의 맨 아래까지, 시각 $T$ 에서의 높이를 $h_2(T)$ 라 하자. 이제 처음 속도가 초속 $-1$ 미터(높이가 줄어들므로 음수)이고 가속도가 초당 $4.9$ 미터마다 매초(속도가 음수에서 $0$ 으로 증가하므로 양수)라는 사실을 쓸 수 있다. $h_2(T)=\frac{4.9}{2}T^2-T$ 여기서도 트램펄린 가장자리의 높이는 $0$ 으로 본다.

참고: 자유 낙하할 때의 가속도는 음수인데 트램펄린 위에서의 가속도는 양수라는 점이 혼란스럽다면, 중력은 당신을 아래로 밀고 트램펄린은 당신을 위로 민다는 것을 기억하자.

트램펄린 속에서 얼마나 오래 떨어졌을까? 식 $h_2(T)$ 는 트램펄린이 낙하를 늦추는 동안에만 높이를 알려 준다. 속도가 $0$ 이 될 때 낙하의 맨 아래에 이른다. $h_2'(T)=4.9T-1$ 이므로 $T=\frac{1}{4.9}$ 일 때 낙하의 맨 아래에 이른다. 주의하자. 이것은 트램펄린에 닿은 때로부터 $\frac{1}{4.9}$ 초 뒤이지, 낙하의 최고점이나 뛰어오른 때로부터가 아니다.
마지막 조각은 점프의 최고점에서 트램펄린 표면까지 떨어지는 데 걸린 시간이다. 그동안의 운동을 나타내는 식은 $h_1(t)=\frac{-9.8}{2}t^2+t$ 이다. 속도가 $0$ 일 때 최고점에 이른다. $h_1'(t)=-9.8t+1 =0\qquad\Rightarrow\qquad t=\frac{1}{9.8}$ 따라서 당신은 $t=\frac{1}{9.8}$ 에서 최고점을 출발하여 $t=\frac{2}{1.98}$ 에서 트램펄린 가장자리 높이에 이르렀으므로, 낙하에 $\frac{1}{9.8}$ 초가 걸렸다.

참고: 앞에서 언급한 대칭성에 의해, 점프의 최고점에서 트램펄린 표면까지 떨어지는 데 걸린 시간은 가장자리에서 뛰어오른 순간부터 다시 트램펄린 표면에 닿는 순간까지 걸린 시간의 절반과 같다.

따라서 점프의 최고점에서 맨 아래까지 떨어진 시간은 $\frac{1}{9.8}+\frac{1}{4.9}\approx 0.3$ 초이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 속도와 가속도활용도전자동 분류