관련 변화율 연습문제 — CLP-1 · 3.2절 · 21번

CLP-1 · 3.2절 · 21번우리말 번역

떠 있는 부표가 강바닥에 고정되어 있다. 강이 흐르면 부표는 길이 2미터의 줄이 팽팽해질 때까지 물이 흐르는 방향으로 끌려간다. 닻에 있는 센서는 아래 그림과 같이 줄과 강바닥 사이의 각 $\theta$ 를 읽는다. 이 자료는 시간에 따라 변하는 강의 수심 $D$ 를 측정하는 데 쓰인다.

(a) $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ 이고 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0.25~\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{hr}}$ 일 때, 물의 깊이 $D$ 는 얼마나 빠르게 변하는지 구하세요. (b) 측정 결과 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0$ 이지만 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}\neq0$ 이다. 어떤 상황에서 이런 일이 일어나는지 설명하세요. (c) 측정 결과 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}>0$ 이지만 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}<0$ 이다. 어떤 상황에서 이런 일이 일어나는지 설명하세요.

영어 원문 보기

A floating buoy is anchored to the bottom of a river. As the river flows, the buoy is pulled in the direction of flow until its 2-metre rope is taut. A sensor at the anchor reads the angle $\theta$ between the rope and the riverbed, as shown in the diagram below. This data is used to measure the depth $D$ of water in the river, which depends on time.

(a) If $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ and $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0.25~\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{hr}}$ , how fast is the depth $D$ of the water changing? (b) A measurement shows $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0$ , but $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}\neq0$ . Under what circumstances does this occur? (c) A measurement shows $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}>0$ , but $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}<0$ . Under what circumstances does this occur?

정답·풀이 보기

흔히 그렇듯이, 이 문제에서도 직각삼각형을 이용하여 여러 양 사이의 관계를 나타낸다.

$\begin{aligned} \sin\theta&=\frac{D}{2}\\ D&=2\sin\theta\\ \text{합성함수의 미분법을 이용하여 양변을 시간 $t$ 에 대해 미분한다.} \\ \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=2\cos\theta\cdot\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \\ \text{따라서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0.25$ 라디안/시간이고 $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ 라디안이면} \\ (a)\qquad\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot 0.25=2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\frac{1}{4}=\frac{1}{2\sqrt{2}}~\text{미터/시간}. \end{aligned}$

(b)는 잠시 접어 두고 (c)를 생각해 보자. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ 와 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}$ 의 부호가 다르면, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}=2\cos\theta\cdot\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ 이므로 $\cos\theta<0$ 이다. 수심은 음이 아니어야 하므로 $D>0$ 이고, $D=2\sin\theta$ 이므로 $\sin \theta >0$ 이다. $\sin\theta\ge0$ 이고 $\cos \theta<0$ 이면 $\theta\in(\pi/2,\pi]$ 이다. 그림으로 나타내면 다음과 같다.

즉, 물이 흐르는 방향이 반대로 바뀐 것이다. 예를 들어 강이 바다로 흘러들어 가는 곳에서 만조일 때 이런 일이 일어난다. 선샤인 코스트에 있는 스쿠쿰척 내로스 주립공원에는 흐름이 반대로 바뀌는 여울이 있다.

이제 (b)로 돌아가 보자. 줄의 길이가 2미터뿐인데 강물이 2미터보다 더 높이 차오르면, 등식 $D=2\sin\theta$ 는 더 이상 성립하지 않는다. 부표는 물속에 가만히 있는 채로 물이 불어나거나 줄어들 수 있다(단, 수심은 $2$ 미터 이상으로 유지된다).

원본 교재 풀이(영어)

As is so often the case, we use a right triangle in this problem to relate the quantities.

$\begin{aligned} \sin\theta&=\frac{D}{2}\\ D&=2\sin\theta\\ \text{Using the chain rule, we differentiate both sides with respect to time, $t$.} \\ \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=2\cos\theta\cdot\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \\ \text{So, if $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0.25$ radians per hour and $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ radians, then} \\ (a)\qquad\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot 0.25=2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\frac{1}{4}=\frac{1}{2\sqrt{2}}~\text{metres per hour}. \end{aligned}$

Setting aside part (b) for a moment, let's think about (c). If $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ and $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}$ have different signs, then because $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}=2\cos\theta\cdot\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ , that means $\cos\theta<0$ . We have to have a nonnegative depth, so $D>0$ and $D=2\sin\theta$ implies $\sin \theta >0$ . If $\sin\theta\ge0$ and $\cos \theta<0$ , then $\theta\in(\pi/2,\pi]$ . On the diagram, that looks like this:

That is: the water has reversed direction. This happens, for instance, when a river empties into the ocean and the tide is high. Skookumchuck Narrows provincial park, in the Sunshine Coast, has reversing rapids.

Now, let's return to (b). If the rope is only 2 metres long, and the river rises higher than 2 metres, then our equation $D=2\sin\theta$ doesn't work any more: the buoy might be stationary underwater while the water rises or falls (but stays at or above $2$ metres deep).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.2절 · 24번우리말 번역

양 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 는 모두 시간에 따라 변하며, 다음 식으로 서로 관련되어 있습니다. $AB=\log\left(C^2+D^2+1\right).$ 시각 $t=10$ 일 때, 다음 값이 알려져 있습니다.

$A=0$
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=2$ (단위/초)

$t=10$ 일 때 $B$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$A=0$ 이므로, 변수들을 관련짓는 등식에서 다음을 알 수 있다:

$\begin{aligned} 0&=\log\left(C^2+D^2+1\right)\\ 1&=C^2+D^2+1\\ 0&=C^2+D^2\\ 0&=C=D \\ \text{이 정보는 아마 유용할 것이다. 도함수의 값도 주어졌으므로, 변수들을 관련짓는 등식을 $t$ 에 대해 음함수 미분하자. 표기를 간단히 하기 위해 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=A'$ 등으로 쓰겠다.} \\ A'B+AB'&=\frac{2CC'+2DD'}{C^2+D^2+1} \\ \text{$t=10$ 일 때 $A=C=D=0$ 이므로:} \\ A'B+0&=\frac{0+0}{0+0+1}\\ A'B&=0 \\ \text{$t=10$ 일 때 $A'=2$ (단위/초)이므로:} \\ 2B&=0\\ B&=0. \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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