테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 1번

CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

3차 매클로린 다항식이 $4 + 3x^2 + \frac{1}{2}x^3$ 인 함수 $f(x)$ 를 생각하세요. $f'(0)$ 은 얼마입니까? $f''(0)$ 은 얼마입니까?

영어 원문 보기

Consider a function $f(x)$ whose third order Maclaurin polynomial is $4 + 3x^2 + \frac{1}{2}x^3$ . What is $f'(0)$ ? What is $f''(0)$ ?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 의 3차 매클로린 다항식은

$\begin{aligned} f(0) + f'(0)x +\frac{f''(0)}{2}\cdot x^2 + \frac{f'''(0)}{6}\cdot x^3 &=4+3x^2+\frac{1}{2}x^3. \end{aligned}$

$x$ 의 계수는 한쪽에서 $f'(0)$ 이고 다른 쪽에서 $0$ 이므로 $f'(0)=0$ 이다.

$x^2$ 의 계수는 한쪽에서 $\dfrac{1}{2}f''(0)$ 이고 다른 쪽에서 $3$ 이므로 $f''(0)=6$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The third Maclaurin polynomial for $f(x)$ is

$\begin{aligned} f(0) + f'(0)x +\frac{f''(0)}{2}\cdot x^2 + \frac{f'''(0)}{6}\cdot x^3 &=4+3x^2+\frac{1}{2}x^3. \end{aligned}$

The coefficient of $x$ is $f'(0)$ on one side, and $0$ on the other, so $f'(0)=0$ .

The coefficient of $x^2$ is $\dfrac{1}{2}f''(0)$ on one side, and $3$ on the other, so $f''(0)=6$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 7번우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $\sqrt[3]{26}$ 의 값을 어림하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

함수 $f(x)=x^{1/3}$ 과 점 $a=27$ 을 근사의 중심으로 사용한다. 다음과 같이 쉽게 계산할 수 있기 때문이다.

$\begin{aligned} f(27)&=3 \end{aligned}$

$f'(x)=\dfrac{1}{3} x^{-2/3}$ 이므로

$\begin{aligned} f'(27)&= \frac{1}{3} \cdot (27)^{-2/3} = \frac{1}{27} \end{aligned}$

따라서 $26^{1/3} = f(26)$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} 26^{1/3}&\approx T_1\left(26\right) = f(27) + f'(27)\cdot (26-27) \\ &= 3 - \frac{1}{27} = \frac{80}{27} \end{aligned}$