테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 7번

CLP-1 · 3.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $\sqrt[3]{26}$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Estimate $\sqrt[3]{26}$ using a linear approximation.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

함수 $f(x)=x^{1/3}$ 과 점 $a=27$ 을 근사의 중심으로 사용한다. 다음과 같이 쉽게 계산할 수 있기 때문이다.

$\begin{aligned} f(27)&=3 \end{aligned}$

$f'(x)=\dfrac{1}{3} x^{-2/3}$ 이므로

$\begin{aligned} f'(27)&= \frac{1}{3} \cdot (27)^{-2/3} = \frac{1}{27} \end{aligned}$

따라서 $26^{1/3} = f(26)$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} 26^{1/3}&\approx T_1\left(26\right) = f(27) + f'(27)\cdot (26-27) \\ &= 3 - \frac{1}{27} = \frac{80}{27} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the function $f(x)=x^{1/3}$ and point $a=27$ as the centre of our approximation since we can easily compute

$\begin{aligned} f(27)&=3 \end{aligned}$

We compute $f'(x)=\dfrac{1}{3} x^{-2/3}$ , so

$\begin{aligned} f'(27)&= \frac{1}{3} \cdot (27)^{-2/3} = \frac{1}{27} \end{aligned}$

So, the linear approximation of $26^{1/3} = f(26)$ is

$\begin{aligned} 26^{1/3}&\approx T_1\left(26\right) = f(27) + f'(27)\cdot (26-27) \\ &= 3 - \frac{1}{27} = \frac{80}{27} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 18번우리말 번역

$f(x)$ 의 4차 매클로린 다항식이 $T_4(x)=5x^2-9$ 이다. $f(x)$ 의 3차 매클로린 다항식은 무엇인가요?

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)$ 의 4차 매클로린 다항식은

$\begin{aligned} T_4(x)&=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+\frac{1}{3!}f'''(0)x^3+\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)x^4 \\ \text{한편 $f(x)$ 의 3차 매클로린 다항식은} \\ T_3(x)&=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+\frac{1}{3!}f'''(0)x^3 \\ \text{따라서 $T_4(x)$ 에서 $x^4$ 을 포함한 부분을 그냥 ``잘라 내면" 된다. 이 경우 그 부분이 이미 0이므로 $T_3(x)=T_4(x)$ 이다.} \\ T_3(x)&=5x^2-9 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차계산보통자동 분류