테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 2번

CLP-1 · 3.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

3차 매클로린 다항식이 $1+4x-\dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{2}{3}x^3$ 인 함수 $h(x)$ 를 생각하세요. $h^{(3)}(0)$ 은 얼마입니까?

영어 원문 보기

Consider a function $h(x)$ whose third order Maclaurin polynomial is $1+4x-\dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{2}{3}x^3$ . What is $h^{(3)}(0)$ ?

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정답·풀이 보기

$h(x)$ 의 3차 매클로린 다항식은

$\begin{aligned} h(0) + h'(0)x +\frac{h''(0)}{2}\cdot x^2 + \frac{h^{(3)}(0)}{3!}\cdot x^3 &= 1+4x-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x^3 \end{aligned}$

이다.

$x^3$ 의 계수는 한쪽에서는 $\dfrac{1}{3!}h^{(3)}(0)$ 이고 다른 쪽에서는 $\dfrac{2}{3}$ 이다. 따라서 $\dfrac{h^{(3)}(0)}{6}=\dfrac{2}{3}$ 이므로 $h^{(3)}(0)=6\cdot\dfrac{2}{3} = 4$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The third Maclaurin polynomial for $h(x)$ is

$\begin{aligned} h(0) + h'(0)x +\frac{h''(0)}{2}\cdot x^2 + \frac{h^{(3)}(0)}{3!}\cdot x^3 &= 1+4x-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x^3 \end{aligned}$

The coefficient of $x^3$ is $\dfrac{1}{3!}h^{(3)}(0)$ on one side, and $\dfrac{2}{3}$ on the other. Thus $\dfrac{h^{(3)}(0)}{6}=\dfrac{2}{3}$ , so $h^{(3)}(0)=6\cdot\dfrac{2}{3} = 4$ .

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$f(x)$ 의 3차 매클로린 다항식은

$\begin{aligned} f(0) + f'(0)x +\frac{f''(0)}{2}\cdot x^2 + \frac{f'''(0)}{6}\cdot x^3 &=4+3x^2+\frac{1}{2}x^3. \end{aligned}$

$x$ 의 계수는 한쪽에서 $f'(0)$ 이고 다른 쪽에서 $0$ 이므로 $f'(0)=0$ 이다.

$x^2$ 의 계수는 한쪽에서 $\dfrac{1}{2}f''(0)$ 이고 다른 쪽에서 $3$ 이므로 $f''(0)=6$ 이다.

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