테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 4번

CLP-1 · 3.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x)$ 가 $f(3)=2,\ f'(3)=4$ 이고 $f''(3)=-10$ 이라는 성질을 가집니다.

(a) $x=3$ 을 중심으로 하는 $f(x)$ 의 선형 근사를 이용하여 $f(2.98)$ 을 어림하세요. (b) $x=3$ 을 중심으로 하는 $f(x)$ 의 이차 근사를 이용하여 $f(2.98)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

The function $f(x)$ has the property that $f(3)=2,\ f'(3)=4$ and $f''(3)=-10$ .

(a) Use the linear approximation to $f(x)$ centred at $x=3$ to approximate $f(2.98)$ . (b) Use the quadratic approximation to $f(x)$ centred at $x=3$ to approximate $f(2.98)$ .

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(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $x$ 가 3 근처일 때, $f(x)\approx f(3)+f'(3)(x-3)=2+4(x-3)$ 이다. 특히 $f(2.98)\approx 2+4(2.98-3)=2-0.08=1.92$ 이다. (b) $x$ 가 3 근처일 때,

$\begin{aligned} f(x)&\approx f(3)+f'(3)(x-3)+\frac{1}{2} f''(3)(x-3)^2\\ &=2+4(x-3)-\frac{1}{2} 10(x-3)^2 \\ \text{특히} \\ f(2.98)&\approx 2+4(2.98-3)-5(2.98-3)^2\\ &=2-0.08-0.002={1.918} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) For $x$ near 3, $f(x)\approx f(3)+f'(3)(x-3)=2+4(x-3)$ In particular $f(2.98)\approx 2+4(2.98-3)=2-0.08=1.92$ (b) For $x$ near 3,

$\begin{aligned} f(x)&\approx f(3)+f'(3)(x-3)+\frac{1}{2} f''(3)(x-3)^2\\ &=2+4(x-3)-\frac{1}{2} 10(x-3)^2 \\ \text{In particular} \\ f(2.98)&\approx 2+4(2.98-3)-5(2.98-3)^2\\ &=2-0.08-0.002={1.918} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 9번우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $\sin\left(\dfrac{101\pi}{100}\right)$ 의 값을 어림하세요. (답은 $\pi$ 를 사용하여 나타내세요.)

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

함수 $f(x)=\sin(x)$ 와 점 $a=\pi$ 를 근사의 중심으로 사용한다. 왜냐하면

$\begin{aligned} \sin(a)&=f(\pi)=\sin{\pi}=0. \end{aligned}$

임을 알고 있고, $\pi$ 는 $\dfrac{101\pi}{100}$ 에 꽤 가깝기 때문이다.

$f'(x)=\cos(x)$ 를 계산하면

$\begin{aligned} f'(\pi)&=\cos(\pi) = -1. \\ \text{So, the linear approximation of $\sin\left(\frac{101\pi}{100}\right) $ is} \\ f\left(\frac{101\pi}{100}\right)&\approx T_1\left(\frac{101\pi}{100}\right)\\ &= f(\pi) + f'(\pi)\cdot \left(\frac{101\pi}{100}-\pi\right) \\ &=0+(-1)\cdot\frac{\pi}{100}=-\frac{\pi}{100}. \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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