테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 9번

CLP-1 · 3.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $\sin\left(\dfrac{101\pi}{100}\right)$ 의 값을 어림하세요. (답은 $\pi$ 를 사용하여 나타내세요.)

영어 원문 보기

Estimate $\sin\left(\dfrac{101\pi}{100}\right)$ using a linear approximation. (Leave your answer in terms of $\pi$ .)

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함수 $f(x)=\sin(x)$ 와 점 $a=\pi$ 를 근사의 중심으로 사용한다. 왜냐하면

$\begin{aligned} \sin(a)&=f(\pi)=\sin{\pi}=0. \end{aligned}$

임을 알고 있고, $\pi$ 는 $\dfrac{101\pi}{100}$ 에 꽤 가깝기 때문이다.

$f'(x)=\cos(x)$ 를 계산하면

$\begin{aligned} f'(\pi)&=\cos(\pi) = -1. \\ \text{So, the linear approximation of $\sin\left(\frac{101\pi}{100}\right) $ is} \\ f\left(\frac{101\pi}{100}\right)&\approx T_1\left(\frac{101\pi}{100}\right)\\ &= f(\pi) + f'(\pi)\cdot \left(\frac{101\pi}{100}-\pi\right) \\ &=0+(-1)\cdot\frac{\pi}{100}=-\frac{\pi}{100}. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the function $f(x)=\sin(x)$ and point $a=\pi$ as the centre of our approximation since we know that

$\begin{aligned} \sin(a)&=f(\pi)=\sin{\pi}=0. \end{aligned}$

and $\pi$ is reasonably close to $\dfrac{101\pi}{100}$ .

We compute $f'(x)=\cos(x)$ , so

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 8번우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $(10.1)^5$ 의 값을 어림하세요.

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함수 $f(x)=x^5$ 과 점 $a=10$ 을 근사의 중심으로 사용한다. $f(a)=f(10)=10^5$ 임을 알기 때문이다.

$f'(x) = 5x^4$ 이므로 $f'(10) = 50,000$ 이다.

따라서 $10.1^5$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} T_1(10.1)&= f(10) + f'(10)\cdot (10.1-10) \\ &= 100,000 + 50,000 \cdot 0.1 = 105,000\,. \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차계산보통자동 분류