테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 5번

CLP-1 · 3.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

$y = x^{1/3}$ 의 그래프 위의 $x = 8$ 에서의 접선을 이용하여 $10^{1/3}$ 의 근삿값을 구하세요. 이 근삿값은 너무 큰가요, 너무 작은가요?

영어 원문 보기

Use the tangent line to the graph of $y = x^{1/3}$ at $x = 8$ to find an approximate value for $10^{1/3}$ . Is the approximation too large or too small?

정답·풀이 보기

$g(x)=x^{1/3}$ 이라 하자. 그러면 $g'(x)=\dfrac{1}{3} x^{-2/3}$ 이고 $g''(x)=-\dfrac{2}{9} x^{-5/3}$ 이다.

특히 $g(8)=2$ , $g'(8)=\dfrac{1}{12}$ 이고, 모든 $x>0$ 에 대해 $g''(x)<0$ 이다.

$10^{1/3}$ 에 대한 접선 근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned} g(10)&\approx g(8)+g'(8)(10-8)\\ &=2+\dfrac{1}{12}(2)=\dfrac{13}{6} \\ \text{오차 공식을 이용하면:} \\ g(10)&=g(8)+g'(8)(10-8)+\tfrac{1}{2} g''(c)(10-8)^2 \end{aligned}$

이를 만족하는 $8<c<10$ 인 $c$ 가 존재한다. $g''(c)=-\dfrac{2}{9c^{5/3}}$ 이므로 $g''(c)$ 는 음수이고, 따라서 $g(10)$ 은 $\dfrac{13}{6}$ 에 어떤 음수인 양을 더한 값이다. 그러므로 접선 근삿값은 실제 값보다 크다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's name $g(x)=x^{1/3}$ . Then $g'(x)=\dfrac{1}{3} x^{-2/3}$ and $g''(x)=-\dfrac{2}{9} x^{-5/3}$ .

In particular, $g(8)=2$ , $g'(8)=\dfrac{1}{12}$ , and $g''(x)<0$ for all $x>0$ .

The tangent line approximation to $10^{1/3}$ is

$\begin{aligned} g(10)&\approx g(8)+g'(8)(10-8)\\ &=2+\dfrac{1}{12}(2)=\dfrac{13}{6} \\ \text{Using the error formula:} \\ g(10)&=g(8)+g'(8)(10-8)+\tfrac{1}{2} g''(c)(10-8)^2 \end{aligned}$

for some $8<c<10$ . Since $g''(c)=-\dfrac{2}{9c^{5/3}}$ , $g''(c)$ is negative, so $g(10)$ is $\dfrac{13}{6}$ plus some negative quantity. So, the tangent line approximation is too big.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 4번우리말 번역

함수 $f(x)$ 가 $f(3)=2,\ f'(3)=4$ 이고 $f''(3)=-10$ 이라는 성질을 가집니다.

(a) $x=3$ 을 중심으로 하는 $f(x)$ 의 선형 근사를 이용하여 $f(2.98)$ 을 어림하세요. (b) $x=3$ 을 중심으로 하는 $f(x)$ 의 이차 근사를 이용하여 $f(2.98)$ 을 어림하세요.

답 쓰고 채점

(a)

(b)

다 풀었으면 정답 확인

(a) $x$ 가 3 근처일 때, $f(x)\approx f(3)+f'(3)(x-3)=2+4(x-3)$ 이다. 특히 $f(2.98)\approx 2+4(2.98-3)=2-0.08=1.92$ 이다. (b) $x$ 가 3 근처일 때,

$\begin{aligned} f(x)&\approx f(3)+f'(3)(x-3)+\frac{1}{2} f''(3)(x-3)^2\\ &=2+4(x-3)-\frac{1}{2} 10(x-3)^2 \\ \text{특히} \\ f(2.98)&\approx 2+4(2.98-3)-5(2.98-3)^2\\ &=2-0.08-0.002={1.918} \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차그래프·표 해석보통자동 분류