테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 6번

CLP-1 · 3.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $\sqrt{2}$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Estimate $\sqrt{2}$ using a linear approximation.

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정답·풀이 보기

함수 $f(x)=\sqrt{x}$ 와 점 $a=1$ 을 근사의 중심으로 사용한다. 다음과 같이 쉽게 계산할 수 있기 때문이다.

$\begin{aligned} f(a)&=f(1)=\sqrt{1}=1. \end{aligned}$

$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ 이므로

$\begin{aligned} f'(1)&=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}. \end{aligned}$

따라서 $\sqrt{2}=f(2)$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} \sqrt{2}&\approx T_1(2)= f(1) + f'(1)\cdot (2-1)\\ &=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the function $f(x)=\sqrt{x}$ and point $a=1$ as the centre of our approximation, since we can easily calculate

$\begin{aligned} f(a)&=f(1)=\sqrt{1}=1. \end{aligned}$

We compute $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , so

$\begin{aligned} f'(1)&=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}. \end{aligned}$

So, a linear approximation of $\sqrt{2}=f(2)$ is

$\begin{aligned} \sqrt{2}&\approx T_1(2)= f(1) + f'(1)\cdot (2-1)\\ &=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 5번우리말 번역

$y = x^{1/3}$ 의 그래프 위의 $x = 8$ 에서의 접선을 이용하여 $10^{1/3}$ 의 근삿값을 구하세요. 이 근삿값은 너무 큰가요, 너무 작은가요?

다 풀었으면 정답 확인

$g(x)=x^{1/3}$ 이라 하자. 그러면 $g'(x)=\dfrac{1}{3} x^{-2/3}$ 이고 $g''(x)=-\dfrac{2}{9} x^{-5/3}$ 이다.

특히 $g(8)=2$ , $g'(8)=\dfrac{1}{12}$ 이고, 모든 $x>0$ 에 대해 $g''(x)<0$ 이다.

$10^{1/3}$ 에 대한 접선 근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned} g(10)&\approx g(8)+g'(8)(10-8)\\ &=2+\dfrac{1}{12}(2)=\dfrac{13}{6} \\ \text{오차 공식을 이용하면:} \\ g(10)&=g(8)+g'(8)(10-8)+\tfrac{1}{2} g''(c)(10-8)^2 \end{aligned}$

이를 만족하는 $8<c<10$ 인 $c$ 가 존재한다. $g''(c)=-\dfrac{2}{9c^{5/3}}$ 이므로 $g''(c)$ 는 음수이고, 따라서 $g(10)$ 은 $\dfrac{13}{6}$ 에 어떤 음수인 양을 더한 값이다. 그러므로 접선 근삿값은 실제 값보다 크다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차계산보통자동 분류