테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 18번

CLP-1 · 3.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

$f(x)$ 의 4차 매클로린 다항식이 $T_4(x)=5x^2-9$ 이다. $f(x)$ 의 3차 매클로린 다항식은 무엇인가요?

영어 원문 보기

The 4th order Maclaurin polynomial for $f(x)$ is $T_4(x)=5x^2-9$ What is the third order Maclaurin polynomial for $f(x)$ ?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 의 4차 매클로린 다항식은

$\begin{aligned} T_4(x)&=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+\frac{1}{3!}f'''(0)x^3+\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)x^4 \\ \text{한편 $f(x)$ 의 3차 매클로린 다항식은} \\ T_3(x)&=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+\frac{1}{3!}f'''(0)x^3 \\ \text{따라서 $T_4(x)$ 에서 $x^4$ 을 포함한 부분을 그냥 ``잘라 내면" 된다. 이 경우 그 부분이 이미 0이므로 $T_3(x)=T_4(x)$ 이다.} \\ T_3(x)&=5x^2-9 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The fourth order Maclaurin polynomial for $f(x)$ is

$\begin{aligned} T_4(x)&=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+\frac{1}{3!}f'''(0)x^3+\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)x^4 \\ \text{while the third order Maclaurin polynomial for $f(x)$ is} \\ T_3(x)&=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+\frac{1}{3!}f'''(0)x^3 \\ \text{So, we simply ``chop off" the part of $T_4(x)$ that includes $x^4$. Since that's already 0, in this case $T_3(x)=T_4(x)$.} \\ T_3(x)&=5x^2-9 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 6번우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $\sqrt{2}$ 의 값을 어림하세요.

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함수 $f(x)=\sqrt{x}$ 와 점 $a=1$ 을 근사의 중심으로 사용한다. 다음과 같이 쉽게 계산할 수 있기 때문이다.

$\begin{aligned} f(a)&=f(1)=\sqrt{1}=1. \end{aligned}$

$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ 이므로

$\begin{aligned} f'(1)&=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}. \end{aligned}$

따라서 $\sqrt{2}=f(2)$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} \sqrt{2}&\approx T_1(2)= f(1) + f'(1)\cdot (2-1)\\ &=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}. \end{aligned}$

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