테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 8번

CLP-1 · 3.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $(10.1)^5$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Estimate $(10.1)^5$ using a linear approximation.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

함수 $f(x)=x^5$ 과 점 $a=10$ 을 근사의 중심으로 사용한다. $f(a)=f(10)=10^5$ 임을 알기 때문이다.

$f'(x) = 5x^4$ 이므로 $f'(10) = 50,000$ 이다.

따라서 $10.1^5$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} T_1(10.1)&= f(10) + f'(10)\cdot (10.1-10) \\ &= 100,000 + 50,000 \cdot 0.1 = 105,000\,. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the function $f(x)=x^5$ and point $a=10$ as the centre of our approximation since we know that $f(a)=f(10)=10^5$ .

Since $f'(x) = 5x^4$ we have $f'(10) = 50,000$ .

So, a linear approximation of $10.1^5$ is

$\begin{aligned} T_1(10.1)&= f(10) + f'(10)\cdot (10.1-10) \\ &= 100,000 + 50,000 \cdot 0.1 = 105,000\,. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 21번우리말 번역

$\log 10\approx 2.30259$ 임이 주어졌을 때, 적절한 접선 근사를 이용하여 $\log 10.3$ 을 어림하세요. 적절한 오차 추정을 이용하여 근삿값의 오차의 상한과 하한을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)=\log x$ , $x_0=10$ 이라 하자. 그러면

$\begin{aligned} f(x)&=\log x & f'(x)&=\frac{1}{x} & f''(x)&=-\frac{1}{x^2} \\ f(10)&=\log 10\approx 2.30259 & f'(10)&=\frac{1}{10} & f''(10)&=-\frac{1}{100} \end{aligned}$

이므로 $x=10.3$ 일 때, $\log 10.3=f(10.3)\approx f(10)+f'(10)(10.3-10) =2.30259+\frac{0.3}{10} =2.33259$ 이 근삿값의 오차(주어진 자료 $\log 10\approx 2.30259$ 의 오차는 제외)는 $10$ 과 $10.3$ 사이의 어떤 $z$ 에 대해 $\dfrac{1}{2} f''(z)(10.3-10)^2$ 이다. $f''(z)=-\dfrac{1}{z^2}$ 은 $z$ 가 증가하면 증가하므로, 그 값은 $-\dfrac{1}{10^2}$ 과 $-\dfrac{1}{10.3^2}$ 사이에 있어야 한다. 따라서 $\dfrac{1}{2} f''(z)(10.3-10)^2$ 은 $-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{10^2}(0.3)^2=-0.00045$ 와 $-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{10.3^2}(0.3)^2<-0.00042$ 사이에 있다.

이 문제로 이어서 풀기

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