테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 21번

CLP-1 · 3.4절 · 21번대학 수준우리말 번역

$\log 10\approx 2.30259$ 임이 주어졌을 때, 적절한 접선 근사를 이용하여 $\log 10.3$ 을 어림하세요. 적절한 오차 추정을 이용하여 근삿값의 오차의 상한과 하한을 구하세요.

영어 원문 보기

Given that $\log 10\approx 2.30259$ , estimate $\log 10.3$ using a suitable tangent line approximation. Give an upper and lower bound for the error in your approximation by using a suitable error estimate.

정답·풀이 보기

$f(x)=\log x$ , $x_0=10$ 이라 하자. 그러면

$\begin{aligned} f(x)&=\log x & f'(x)&=\frac{1}{x} & f''(x)&=-\frac{1}{x^2} \\ f(10)&=\log 10\approx 2.30259 & f'(10)&=\frac{1}{10} & f''(10)&=-\frac{1}{100} \end{aligned}$

이므로 $x=10.3$ 일 때, $\log 10.3=f(10.3)\approx f(10)+f'(10)(10.3-10) =2.30259+\frac{0.3}{10} =2.33259$ 이 근삿값의 오차(주어진 자료 $\log 10\approx 2.30259$ 의 오차는 제외)는 $10$ 과 $10.3$ 사이의 어떤 $z$ 에 대해 $\dfrac{1}{2} f''(z)(10.3-10)^2$ 이다. $f''(z)=-\dfrac{1}{z^2}$ 은 $z$ 가 증가하면 증가하므로, 그 값은 $-\dfrac{1}{10^2}$ 과 $-\dfrac{1}{10.3^2}$ 사이에 있어야 한다. 따라서 $\dfrac{1}{2} f''(z)(10.3-10)^2$ 은 $-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{10^2}(0.3)^2=-0.00045$ 와 $-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{10.3^2}(0.3)^2<-0.00042$ 사이에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $f(x)=\log x$ and $x_0=10$ . Then

$\begin{aligned} f(x)&=\log x & f'(x)&=\frac{1}{x} & f''(x)&=-\frac{1}{x^2} \\ f(10)&=\log 10\approx 2.30259 & f'(10)&=\frac{1}{10} & f''(10)&=-\frac{1}{100} \end{aligned}$

so that, with $x=10.3$ , $\log 10.3=f(10.3)\approx f(10)+f'(10)(10.3-10) =2.30259+\frac{0.3}{10} =2.33259$ The error in this approximation (excluding the error in the given data $\log 10\approx 2.30259$ ) is $\dfrac{1}{2} f''(z)(10.3-10)^2$ for some $z$ between $10$ and $10.3$ . Because $f''(z)=-\dfrac{1}{z^2}$ increases as $z$ increases, it must be between $-\dfrac{1}{10^2}$ and $-\dfrac{1}{10.3^2}$ . This forces $\dfrac{1}{2} f''(z)(10.3-10)^2$ to be between $-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{10^2}(0.3)^2=-0.00045$ and $-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{10.3^2}(0.3)^2<-0.00042$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 1번우리말 번역

$f(x)=\sin x+ \cos x$ 의 16차 매클로린 다항식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

일반적인 함수의 16차 매클로린 다항식을 구하려면 16번 미분해야 한다고 생각할 수도 있다(휴). 하지만 사인함수와 코사인함수의 도함수는 반복된다는 것을 알고 있다. 따라서 규칙만 찾으면 충분하다:

$\begin{aligned} f(x)&=\sin x + \cos x & f(0)&=1\\ f'(x)&=\cos x - \sin x & f'(0)&=1\\ f''(x)&=-\sin x - \cos x & f''(0)&=-1\\ f'''(x)&=-\cos x +\sin x & f'''(0)&=-1\\ f^{(4)}&=\sin x + \cos x & f^{(4)}(0)&=1 \end{aligned}$

$f^{(4)}(x)=f(x)$ 이므로 도함수는 여기서부터 반복된다. 규칙은 다음과 같다: $+1$ , $+1$ , $-1$ , $-1$ .

$\begin{aligned} T_{16}(x)&=1 +x -\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{3!}x^3 +\frac{1}{4!}x^4 +\frac{1}{5!}x^5 -\frac{1}{6!}x^6 -\frac{1}{7!}x^7 +\frac{1}{8!}x^8 +\frac{1}{9!}x^9 -\frac{1}{10!}x^{10} -\frac{1}{11!}x^{11}\\ &\qquad +\frac{1}{12!}x^{12} +\frac{1}{13!}x^{13} -\frac{1}{14!}x^{14} -\frac{1}{15!}x^{15} +\frac{1}{16!}x^{16} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차계산도전자동 분류