테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 10번

CLP-1 · 3.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

$\arctan 1 = \dfrac{\pi}{4}$ 임을 이용하여, 선형 근사로 $\arctan(1.1)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Use a linear approximation to estimate $\arctan(1.1)$ , using $\arctan 1 = \dfrac{\pi}{4}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$f(x)=\arctan(x)$ 라 하자. 그러면 $f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ 이므로 $f'(1)=\dfrac{1}{2}$ 이고 $f(1.1)\approx f(1)+f'(1)(1.1-1)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{20}$

원본 교재 풀이(영어)

Set $f(x)=\arctan(x)$ . Then $f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ , so $f'(1)=\dfrac{1}{2}$ and $f(1.1)\approx f(1)+f'(1)(1.1-1)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{20}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 11번우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $(2.001)^3$ 의 값을 어림하세요. 답을 $n/1000$ 꼴로 나타내세요. 단, $n$ 은 정수입니다.

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)=(2+x)^3$ 이라 하면 $f(0.001)$ 을 어림하는 것이다.

$a$ 로 가장 자연스러운 선택은 $a=0$ 이다.

그러면 $f'(x)=3(2+x)^2$ 이므로 $(2.001)^3=f(0.001)\approx f(0)+f'(0)(0.001-0) =8+\frac{12}{1000}=\frac{8012}{1000}$

참고: $f(x)=x^3$ 과 $a=2$ 를 선택했더라도 결과는 완전히 같다.