테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 13번

CLP-1 · 3.4절 · 13번대학 수준우리말 번역

$x = 0$ 에서 $f(x)=(1 - 3x)^{-1/3}$ 의 3차 테일러 다항식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the third–order Taylor polynomial for $f(x)=(1 - 3x)^{-1/3}$ around $x = 0$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 $x=0$ 에서 $f$ 의 미분계수를 구한다.

$\begin{aligned} f(x)&=(1 - 3x)^{-1/3} & f(0) & = 1 \\ f'(x)&=(-3)\frac{-1}{3}(1 - 3x)^{-4/3}=(1-3x)^{-4/3} & f'(0) & = 1 \\ f''(x)&=(-3)\frac{-4}{3}(1-3x)^{-7/3}={4}(1 - 3x)^{-7/3} & f''(0) & = 4 \\ f^{(3)}(x)&=(-3)(4)\frac{-7}{3}(1-3x)^{-10/3}=28(1 - 3x)^{-10/3} & f^{(3)}(0) & = 28 \\ \end{aligned}$

이 값들을 테일러 다항식의 정의에 대입하면, $x = 0$ 에서 $f$ 의 3차 테일러 다항식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} T_3(x)&=1+x+\frac{4}{2!}x^2+\frac{28}{3!}x^3\\ &=1 + x +2x^2+\frac{14}{3}x^3 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We begin by finding the derivatives of $f$ at $x=0$ .

Plugging these into the definition of a Taylor Polynomial, we find that the third–order Taylor polynomial for $f$ around $x = 0$ is

$\begin{aligned} T_3(x)&=1+x+\frac{4}{2!}x^2+\frac{28}{3!}x^3\\ &=1 + x +2x^2+\frac{14}{3}x^3 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 3번우리말 번역

$x=2$ 에서 $h(x)$ 의 3차 테일러 다항식은 $3 + \dfrac{1}{2}(x-2) + 2(x-2)^3$ 이다.

$h'(2)$ 는 얼마입니까? $h''(2)$ 는 얼마입니까?

다 풀었으면 정답 확인

$x=2$ 에서 $h(x)$ 의 3차 테일러 다항식은 $h(2) + h'(2)(x-2) +\frac{h''(2)}{2}\cdot (x-2)^2 + \frac{h'''(2)}{6}\cdot (x-2)^3$ 이다. $(x-2)$ 의 계수는 정의에서는 $h'(2)$ 이고, 주어진 함수에서는 $\dfrac{1}{2}$ 이므로 $h'(2)=\dfrac{1}{2}$ 이다.

$(x-2)^2$ 의 계수는 정의에서는 $~\dfrac{1}{2}h''(2)~$ 이고, 주어진 함수에서는 $0$ 이므로 $h'(2)=0$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차계산보통자동 분류