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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

선형근사와 미분소

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

선형 근사를 이용하여 10.1310.1^3 의 값을 어림하고, 어림한 값을 실제 값과 비교하세요.

영어 원문 보기

Use a linear approximation to estimate 10.1310.1^3, then compare your estimation with the actual value.

정답·풀이 보기

f(x)=x3f(x)=x^3 이면 f(10.1)=10.13f(10.1)=10.1^3 이고, 이것이 우리가 어림하려는 값이다. x=10x=10 에서 f(x)f(x) 의 선형 근사를 구해 보자.

f(10)=103=1000f′(x)=3x2f′(10)=3(102)=300f(a)≈f(10)+f′(10)(x−10)=1000+300(x−10)f(10.1)≈1000+300(10.1−10)=1030\begin{aligned} f(10)&=10^3=1000\\ f'(x)&=3x^2\\ f'(10)&=3(10^2)=300\\ f(a) &\approx f(10)+f'(10)(x-10)\\ &=1000+300(x-10)\\ f(10.1)& \approx 1000+300(10.1-10)=1030 \end{aligned}

따라서 10.13≈103010.1^3 \approx 1030 으로 어림한다. 10.1310.1^3 을 정확하게 계산하면(손으로도 충분히 계산할 수 있다) 1030.301 이다.

참고: 앞 절에서는 상수 근사를 이용하여 10.13≈100010.1^3 \approx 1000 으로 어림했다. 그 어림은 몇 초 만에 머릿속으로 쉽게 할 수 있었다. 선형 근사는 더 정확하지만, 10.1310.1^3 을 그냥 계산하는 것보다 그리 빠르지는 않다.

원본 교재 풀이(영어)

If f(x)=x3f(x)=x^3, then f(10.1)=10.13f(10.1)=10.1^3, which is the value we want to estimate. Let's take the linear approximation of f(x)f(x) about x=10x=10:

f(10)=103=1000f′(x)=3x2f′(10)=3(102)=300f(a)≈f(10)+f′(10)(x−10)=1000+300(x−10)f(10.1)≈1000+300(10.1−10)=1030\begin{aligned} f(10)&=10^3=1000\\ f'(x)&=3x^2\\ f'(10)&=3(10^2)=300\\ f(a) &\approx f(10)+f'(10)(x-10)\\ &=1000+300(x-10)\\ f(10.1)& \approx 1000+300(10.1-10)=1030 \end{aligned}

We estimate 10.13≈103010.1^3 \approx 1030. If we calculate 10.1310.1^3 exactly (which is certainly possible to do by hand), we get 1030.301.

Remark: in the previous subsection, we used a constant approximation to estimate 10.13≈100010.1^3 \approx 1000. That approximation was easy to do in your head, in a matter of seconds. The linear approximation is more accurate, but not much faster than simply calculating 10.1310.1^3.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 6번우리말 번역

선형 근사를 이용하여 305\sqrt[5]{30} 을 어림하세요

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함수 f(x)=x5f(x)=\sqrt[5]{x} 를 근사한다. f(a)f(a) 와 f′(a)f'(a) 를 알 수 있고 aa 가 3030 에서 너무 멀지 않도록, 어떤 값 x=ax=a 를 중심으로 근사해야 한다.

f(x)=x5=x15f′(x)=15x−45=15x54a 는 5제곱근을 아는 수여야 한다. 325=2 이고 32는 30에 꽤 가까우므로 a=32 가 아주 좋은 선택이다.f(32)=325=2f′(32)=15⋅24=180x=32 에서 f(x) 의 선형 근사는f(x)≈2+180(x−32)x=30 일 때:f(30)≈2+180(30−32)=2−140=7940\begin{aligned} f(x)&=\sqrt[5]{x}=x^{\frac{1}{5}}\\ f'(x)&=\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{5\sqrt[5]{x}^4} \\ \text{$a$ 는 5제곱근을 아는 수여야 한다. $\sqrt[5]{32}=2$ 이고 32는 30에 꽤 가까우므로 $a=32$ 가 아주 좋은 선택이다.} \\ f(32)&=\sqrt[5]{32}=2\\ f'(32)&=\frac{1}{5\cdot 2^4}=\frac{1}{80} \\ \text{$x=32$ 에서 $f(x)$ 의 선형 근사는} \\ f(x) &\approx 2+\frac{1}{80}(x-32) \\ \text{$x=30$ 일 때:} \\ f(30) &\approx 2+\frac{1}{80}(30-32)=2-\frac{1}{40}=\frac{79}{40} \end{aligned}

따라서 305≈7940\sqrt[5]{30}\approx \dfrac{79}{40} 로 어림한다.

참고: 7940=1.975\dfrac{79}{40} = 1.975 이고, 305≈1.97435\sqrt[5]{30} \approx 1.97435 이다. 꽤 괜찮은 어림이다.

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# 선형근사와 미분소계산도전자동 분류

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