테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 2번

CLP-1 · 3.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

$f(x)=2x+5$ 의 $x=a$ 에서의 이차근사를 구하세요.

영어 원문 보기

Give a quadratic approximation of $f(x)=2x+5$ about $x=a$ .

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$f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 이차근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x) &\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 \\ \text{$f(a)=2a+5$, $f'(a)=2$, $f''(a)=0$ 을 대입하면:} \\ f(x) &\approx (2a+5)+2(x-a)=2x+5 \end{aligned}$

따라서 구하는 근사는 $f(x) \approx 2x+5$ 이다.

참고: 이 근사는 $x$ 의 모든 값에 대해 정확하다. 이차함수, 일차함수, 상수함수의 이차근사는 항상 이렇게 된다.

원본 교재 풀이(영어)

The quadratic approximation of $f(x)$ about $x=a$ is

$\begin{aligned} f(x) &\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 \\ \text{We subsitute $f(a)=2a+5$, $f'(a)=2$, and $f''(a)=0$:} \\ f(x) &\approx (2a+5)+2(x-a)=2x+5 \end{aligned}$

So, our approximation is $f(x) \approx 2x+5$ .

Remark: Our approximation is exact for every value of $x$ . This will always happen with a quadratic approximation of a function that is quadratic, linear, or constant.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 3번우리말 번역

2차 근사를 이용하여 $\log(0.93)$ 의 값을 어림하세요.

(씨엘피-1에서는 $\log x$ 를 $x$ 의 자연로그, 즉 $\log_e x$ 의 뜻으로 쓴다는 점을 기억하세요.)

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함수 $f(x)=\log x$ 를 $x=1$ 근처에서 근사한다. 1은 $0.93$ 에 가깝고, $x=1$ 에서 $f(x)$ 와 처음 두 도함수의 값을 구할 수 있으므로 1을 택한다.

$\begin{aligned} f(1)&=0\\ f'(x)&=\frac{1}{x}\qquad \Rightarrow \qquad f'(1)=1\\ f''(x)&=\frac{-1}{x^2} \qquad \Rightarrow \qquad f''(1)=-1 \\ \text{따라서,} \\ f(x) &\approx f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{1}{2}f''(1)(x-1)^2\\ &=0+(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2 \\ \text{$x=0.93$ 일 때:} \\ f(0.93) &\approx (0.93-1)-\frac{1}{2}(0.93-1)^2=-0.07-\frac{1}{2}(0.0049)=-0.07245 \end{aligned}$

따라서 $\log(0.93) \approx -0.07245$ 로 어림한다.

참고: 계산기로 구하면 $\log(0.93) \approx -0.07257$ 이다. 꽤 가깝다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차계산기본자동 분류