테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 3번

CLP-1 · 3.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

2차 근사를 이용하여 $\log(0.93)$ 의 값을 어림하세요.

(씨엘피-1에서는 $\log x$ 를 $x$ 의 자연로그, 즉 $\log_e x$ 의 뜻으로 쓴다는 점을 기억하세요.)

영어 원문 보기

Use a quadratic approximation to estimate $\log(0.93)$ .

(Remember that in CLP-1 we use $\log x$ to mean the natural logarithm of $x$ , $\log_e x$ .)

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

함수 $f(x)=\log x$ 를 $x=1$ 근처에서 근사한다. 1은 $0.93$ 에 가깝고, $x=1$ 에서 $f(x)$ 와 처음 두 도함수의 값을 구할 수 있으므로 1을 택한다.

$\begin{aligned} f(1)&=0\\ f'(x)&=\frac{1}{x}\qquad \Rightarrow \qquad f'(1)=1\\ f''(x)&=\frac{-1}{x^2} \qquad \Rightarrow \qquad f''(1)=-1 \\ \text{따라서,} \\ f(x) &\approx f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{1}{2}f''(1)(x-1)^2\\ &=0+(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2 \\ \text{$x=0.93$ 일 때:} \\ f(0.93) &\approx (0.93-1)-\frac{1}{2}(0.93-1)^2=-0.07-\frac{1}{2}(0.0049)=-0.07245 \end{aligned}$

따라서 $\log(0.93) \approx -0.07245$ 로 어림한다.

참고: 계산기로 구하면 $\log(0.93) \approx -0.07257$ 이다. 꽤 가깝다.

원본 교재 풀이(영어)

We approximate the function $f(x)=\log x$ about the point $x=1$ . We choose 1 because it is close to $0.93$ , and we can evaluate $f(x)$ and its first two derivatives at $x=1$ .

$\begin{aligned} f(1)&=0\\ f'(x)&=\frac{1}{x}\qquad \Rightarrow \qquad f'(1)=1\\ f''(x)&=\frac{-1}{x^2} \qquad \Rightarrow \qquad f''(1)=-1 \\ \text{So,} \\ f(x) &\approx f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{1}{2}f''(1)(x-1)^2\\ &=0+(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2 \\ \text{When $x=0.93$:} \\ f(0.93) &\approx (0.93-1)-\frac{1}{2}(0.93-1)^2=-0.07-\frac{1}{2}(0.0049)=-0.07245 \end{aligned}$

We estimate $\log(0.93) \approx -0.07245$ .

Remark: a calculator approximates $\log(0.93) \approx -0.07257$ . We're pretty close.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 1번우리말 번역

함수 $f(x)$ 의 $x=3$ 에서의 이차근사는 다음과 같다. $f(x) \approx -x^2+6x$ $f(3)$ , $f'(3)$ , $f''(3)$ , $f'''(3)$ 의 값을 각각 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$Q(x)$ 가 $3$ 에서 $f$ 의 이차근사이면 $Q(3)=f(3)$ , $Q'(3)=f'(3)$ , $Q''(3)=f''(3)$ 이다. 그러나 $f(x)$ 와 $Q(x)$ 의 3계 도함수가 같다는 보장은 없으므로, $f'''(3)$ 을 알기에는 정보가 충분하지 않다.

$\begin{aligned} f(3)&=-3^2+6(3)=9\\ f'(3)&=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-x^2+6x\right\}\right|_{x=3}=\left.-2x+6\right|_{x=3}=0\\ f''(3)&=\left.\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\left\{-x^2+6x\right\}\right|_{x=3}= \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-2x+6\right\}\right|_{x=3}=-2 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차계산보통자동 분류