테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 4번

CLP-1 · 3.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

이차 근사를 이용하여 $\cos\left(\dfrac{1}{15}\right)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Use a quadratic approximation to estimate $\cos\left(\dfrac{1}{15}\right)$ .

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함수 $f(x)=\cos x$ 를 근사한다. $x=0$ 에서 $\cos x$ 와 $\sin x$ ( $\sin x$ 는 1계 도함수에 나타난다)의 값을 쉽게 구할 수 있고, 0 은 $\dfrac{1}{15}$ 에 꽤 가까우므로 $x=0$ 을 중심으로 근사한다.

$\begin{aligned} f(0)&=1\\ f'(x)&=-\sin x\\ f'(0)&=-\sin(0)=0\\ f''(x)&=-\cos x\\ f''(0)&=-\cos(0)=-1 \\ \text{Using the quadratic approximation $f(x) \approx f(0)+f'(0)(x-0)+\frac{1}{2}f''(0)(x-0)^2$:} \\ f(x)&\approx 1 -\frac{1}{2}x^2\\ f\left(\frac{1}{15}\right)&\approx 1-\frac{1}{2\cdot 15^2}=\frac{449}{450} \end{aligned}$

$\cos\left(\dfrac{1}{15}\right)\approx\dfrac{449}{450}$ 로 어림한다.

참고: $\dfrac{449}{450}= 0.99\overline{77}$ 이고, 계산기로는 $\cos\left(\frac{1}{15}\right )\approx 0.9977786$ 이다. 이 근사의 오차는 약 $0.000001$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We approximate the function $f(x)=\cos x$ . We can easily evaluate $\cos x$ and $\sin x$ ( $\sin x$ will appear in the first derivative) at $x=0$ , and 0 is quite close to $\dfrac{1}{15}$ , so we centre our approximation about $x=0$ .

We approximate $\cos\left(\dfrac{1}{15}\right)\approx\dfrac{449}{450}$ .

Remark: $\dfrac{449}{450}= 0.99\overline{77}$ , while a calculator gives $\cos\left(\frac{1}{15}\right )\approx 0.9977786$ . Our approximation has an error of about $0.000001$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 5번우리말 번역

$x=0$ 에서 $f(x)=e^{2x}$ 의 이차 근사를 구하세요.

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$x=a$ 에서 함수 $f(x)$ 의 이차 근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned}f(x) &\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 \\ \text{We compute derivatives.} \\ f(0)&=e^0=1\\ f'(x)&=2e^{2x}\\ f'(0)&=2e^0=2\\ f''(x)&=4e^{2x}\\ f''(0)&=4e^0=4 \\ \text{Substituting:} \\ f(x) &\approx 1+2(x-0)+\frac{4}{2}(x-0)^2 \\f(x) &\approx 1+2x+2x^2 \end{aligned}$

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