테일러 다항식과 오차

먼저 $f(x)$ 의 처음 두 도함수를 구해 보자.

$$\begin{aligned} f(x)&=2\arcsin x&&\Rightarrow& f(0)&=2(0)=0\\ f'(x)&=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}&&\Rightarrow& f'(0)&=\frac{2}{1}=2\\ f''(x)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{2(1-x^2)^{-\tfrac{1}{2}}\right\}\\ &=2\left(-\tfrac{1}{2}\right)(1-x^2)^{-\tfrac{3}{2}}(-2x) \qquad\text{(연쇄법칙)}\\ &=\frac{2x}{\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3}&&\Rightarrow& f''(0)&=0 \\ \text{이제 $x=0$ 에서의 이차 근사를 구할 수 있다.} \\ f(x)&\approx f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2\\ &=2x\\ f(1)& \approx 2 \end{aligned}$$

이차 근사로 $2\arcsin(1) \approx 2$ 를 얻는다. 그러나 $2\arcsin(1)$ 의 정확한 값은 $2\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\pi$ 이다. 결국 $\pi \approx 2$ 라는 다소 안타까운 어림을 한 셈이다.