테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 9번

CLP-1 · 3.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

$f(x)=2\arcsin x$ 의 $x=0$ 에서의 이차 근사를 이용하여 $f(1)$ 을 어림하세요. 어떤 수를 어림하고 있나요?

영어 원문 보기

Use a quadratic approximation of $f(x)=2\arcsin x$ about $x=0$ to approximate $f(1)$ . What number are you approximating?

정답·풀이 보기

먼저 $f(x)$ 의 처음 두 도함수를 구해 보자.

$\begin{aligned} f(x)&=2\arcsin x&&\Rightarrow& f(0)&=2(0)=0\\ f'(x)&=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}&&\Rightarrow& f'(0)&=\frac{2}{1}=2\\ f''(x)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{2(1-x^2)^{-\tfrac{1}{2}}\right\}\\ &=2\left(-\tfrac{1}{2}\right)(1-x^2)^{-\tfrac{3}{2}}(-2x) \qquad\text{(연쇄법칙)}\\ &=\frac{2x}{\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3}&&\Rightarrow& f''(0)&=0 \\ \text{이제 $x=0$ 에서의 이차 근사를 구할 수 있다.} \\ f(x)&\approx f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2\\ &=2x\\ f(1)& \approx 2 \end{aligned}$

이차 근사로 $2\arcsin(1) \approx 2$ 를 얻는다. 그러나 $2\arcsin(1)$ 의 정확한 값은 $2\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\pi$ 이다. 결국 $\pi \approx 2$ 라는 다소 안타까운 어림을 한 셈이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's start by taking the first two derivative of $f(x)$ .

$\begin{aligned} f(x)&=2\arcsin x&&\Rightarrow& f(0)&=2(0)=0\\ f'(x)&=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}&&\Rightarrow& f'(0)&=\frac{2}{1}=2\\ f''(x)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{2(1-x^2)^{-\tfrac{1}{2}}\right\}\\ &=2\left(-\tfrac{1}{2}\right)(1-x^2)^{-\tfrac{3}{2}}(-2x) \qquad\text{(chain rule)}\\ &=\frac{2x}{\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3}&&\Rightarrow& f''(0)&=0 \\ \text{Now, we can find the quadratic approximation about $x=0$.} \\ f(x)&\approx f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2\\ &=2x\\ f(1)& \approx 2 \end{aligned}$

Our quadratic approximation gives $2\arcsin(1) \approx 2$ . However, $2\arcsin(1)$ is exactly equal to $2\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\pi$ . We've just made the rather unfortunate approximation $\pi \approx 2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 6번우리말 번역

뾰족한 끝을 아래로 하여 세워 놓은 원뿔 모양의 물탱크가 있다. 높이는 2미터, 반지름은 0.5미터이다. 탱크 안 물의 높이가 50 cm에서 45 cm로 변할 때, 이에 따른 물의 부피 변화량을 어림하세요.

다 풀었으면 정답 확인

물의 높이에 대한 물의 부피를 나타내는 함수 $V(h)$ 가 있다고 하자.

$h_0=0.5$ 미터, $\Delta h = -0.05$ , $\Delta V = V(h_0+\Delta h)-V(h_0)=V(0.45)-V(0.5)$ 라 하자. 그러면 선형 근사에 의해 $\Delta V \approx V'(0.5)\cdot \Delta h = -0.05V'(0.5)$ 이다. 이 문제를 풀기 위해, 먼저 높이에 대한 물의 부피를 나타내는 함수 $V(h)$ 를 구하고, 다음으로 $V'(0.5)$ 를 구한 뒤, 마지막으로 물의 부피 변화량이 $\Delta V \approx -0.05V'(0.5)$ 임을 이용하여 어림한다.

탱크 안의 물은 원뿔 모양을 이룬다. 높이가 $h$ 이고 반지름이 $r$ 인 원뿔의 부피는 $V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$ 이다. 여기서 변수 $r$ 을 없애야 한다. 닮은 삼각형을 이용하면 된다. 아래 그림은 탱크와 물을 옆에서 본 모습이다.

탱크를 옆에서 본 삼각형은 물을 옆에서 본 삼각형과 닮음이므로

$\begin{aligned} \frac{1}{2}&=\frac{2r}{h}\\ r&=\frac{h}{4} \\ \text{이를 이용하면 물의 부피를 $h$ 로 나타낸 식을 구할 수 있다.} \\ V(h)&=\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\pi}{3}\left(\frac{h}{4}\right)^2h=\frac{\pi h^3}{48} \\ \text{미분하면} \\ V'(h)&=\frac{\pi h^2}{16}\\ V'(0.5)&=\frac{0.25\pi}{16}=\frac{\pi}{64} \\ \text{마지막으로 근사식 $\Delta V \approx -0.05V'(0.5)$ 를 이용하면} \\ \Delta V &\approx \frac{-0.05\pi}{64}=-\frac{\pi}{1280}\approx -0.00245 ~\mathrm{m}^3 \end{aligned}$

부피가 약 $0.00245$ 세제곱미터, 즉 약 2450 세제곱센티미터 줄어든 것으로 어림할 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기

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