테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 6번

CLP-1 · 3.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

뾰족한 끝을 아래로 하여 세워 놓은 원뿔 모양의 물탱크가 있다. 높이는 2미터, 반지름은 0.5미터이다. 탱크 안 물의 높이가 50 cm에서 45 cm로 변할 때, 이에 따른 물의 부피 변화량을 어림하세요.

영어 원문 보기

A conical tank, standing on its pointy end, has height 2 metres and radius 0.5 metres. Estimate change in volume of the water in the tank associated to a change in the height of the water from 50 cm to 45 cm.

정답·풀이 보기

물의 높이에 대한 물의 부피를 나타내는 함수 $V(h)$ 가 있다고 하자.

$h_0=0.5$ 미터, $\Delta h = -0.05$ , $\Delta V = V(h_0+\Delta h)-V(h_0)=V(0.45)-V(0.5)$ 라 하자. 그러면 선형 근사에 의해 $\Delta V \approx V'(0.5)\cdot \Delta h = -0.05V'(0.5)$ 이다. 이 문제를 풀기 위해, 먼저 높이에 대한 물의 부피를 나타내는 함수 $V(h)$ 를 구하고, 다음으로 $V'(0.5)$ 를 구한 뒤, 마지막으로 물의 부피 변화량이 $\Delta V \approx -0.05V'(0.5)$ 임을 이용하여 어림한다.

탱크 안의 물은 원뿔 모양을 이룬다. 높이가 $h$ 이고 반지름이 $r$ 인 원뿔의 부피는 $V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$ 이다. 여기서 변수 $r$ 을 없애야 한다. 닮은 삼각형을 이용하면 된다. 아래 그림은 탱크와 물을 옆에서 본 모습이다.

탱크를 옆에서 본 삼각형은 물을 옆에서 본 삼각형과 닮음이므로

$\begin{aligned} \frac{1}{2}&=\frac{2r}{h}\\ r&=\frac{h}{4} \\ \text{이를 이용하면 물의 부피를 $h$ 로 나타낸 식을 구할 수 있다.} \\ V(h)&=\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\pi}{3}\left(\frac{h}{4}\right)^2h=\frac{\pi h^3}{48} \\ \text{미분하면} \\ V'(h)&=\frac{\pi h^2}{16}\\ V'(0.5)&=\frac{0.25\pi}{16}=\frac{\pi}{64} \\ \text{마지막으로 근사식 $\Delta V \approx -0.05V'(0.5)$ 를 이용하면} \\ \Delta V &\approx \frac{-0.05\pi}{64}=-\frac{\pi}{1280}\approx -0.00245 ~\mathrm{m}^3 \end{aligned}$

부피가 약 $0.00245$ 세제곱미터, 즉 약 2450 세제곱센티미터 줄어든 것으로 어림할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Suppose we have a function $V(h)$ that gives the volume of water in the tank as a function of its height.

Let $h_0=0.5$ metres, $\Delta h = -0.05$ , and $\Delta V = V(h_0+\Delta h)-V(h_0)=V(0.45)-V(0.5)$ . Then, by the linear approximation, $\Delta V \approx V'(0.5)\cdot \Delta h = -0.05V'(0.5)$ In order to solve the problem, we will find a function $V(h)$ giving the volume of water in terms of the height, then find $V'(0.5)$ , and finally approximate that the change in the volume of the water is $\Delta V \approx -0.05V'(0.5)$ .

The water in the tank forms a cone. The volume of a cone of height $h$ and radius $r$ is $V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$ We need to get rid of the variable $r$ . We can do this using similar triangles. The diagram below shows the side view of the tank and the water.

The side view of the tank forms a triangle that is similar to the triangle formed by the side view of the water, so

$\begin{aligned} \frac{1}{2}&=\frac{2r}{h}\\ r&=\frac{h}{4} \\ \text{Using this, we find our equation for the volume of the water in terms of $h$.} \\ V(h)&=\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\pi}{3}\left(\frac{h}{4}\right)^2h=\frac{\pi h^3}{48} \\ \text{Differentiating,} \\ V'(h)&=\frac{\pi h^2}{16}\\ V'(0.5)&=\frac{0.25\pi}{16}=\frac{\pi}{64} \\ \text{Finally, using the approximation $\Delta V \approx -0.05V'(0.5)$,} \\ \Delta V &\approx \frac{-0.05\pi}{64}=-\frac{\pi}{1280}\approx -0.00245 ~\mathrm{m}^3 \end{aligned}$

We estimate that the volume decreased by about $0.00245$ cubic metres, or about 2450 cubic centimetres.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 7번우리말 번역

어떤 시료가 처음에 방사성 동위 원소 정확히 1 $\mu$ g 으로 시작하고, 3년 후에 0.9 $\mu$ g 이 남아 있는 것으로 측정되었다. 이 측정값이 0.05 $\mu$ g 이내로 정확하다면, 이 측정값을 이용해 계산한 반감기의 정확도가 이에 따라 어느 정도인지 어림하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$q$ 를 3년 후 남아 있는 동위 원소의 측정량이라 하자. $h(q)$ 를 $q$ 를 이용해 계산한 동위 원소의 반감기라 하자. 측정값은 $q=0.9$ 이었으나, $q$ 가 0.05만큼 변할 때 $h$ 가 얼마나 변하는지 알고 싶다. 그래서 $\Delta q= \pm 0.05$ 라 하고, $\Delta h$ 를 이에 대응하는 $h$ 의 변화량이라 하자. 선형 근사에 의해 다음을 얻는다.

$\begin{aligned}\Delta h& \approx h'(0.9)\Delta q \\ \text{따라서,} \\ \left|\Delta h\right|&\approx\left| h'(0.9)\right|\left|\Delta q\right|= h'(0.9)\cdot 0.05 \end{aligned}$

이것은 문제를 푸는 계획을 시사한다. 측정값 $q$ 를 바탕으로 계산한 동위 원소의 반감기를 나타내는 식 $h(q)$ 를 구한다. 그런 다음 $h'(0.9)$ 를 구한다. 마지막으로, 식 $\left|\Delta h\right|=h'(0.9)\cdot0.05$ 가 측정값의 0.05 변화에 대응하는 $h$ 의 변화량을 알려 준다.

3년 후 $q$ $\mu$ g 이 남아 있을 때 동위 원소의 반감기를 구해 보자. $t$ 년 후 존재하는 동위 원소의 양은 다음과 같다.

$\begin{aligned} Q(t)&=Q(0)e^{-kt} \\ \text{어떤 상수 $k$ 에 대해. 정확히 1 $\mu$g 이 있던 때를 $t=0$ 이라 하자. 그러면} \\ Q(t)&=e^{-kt} \\ \text{3년 후 남아 있는 동위 원소의 양이 $q$ 이므로} \\ q&=e^{-k\cdot 3}\\ q^{\frac{1}{3}}&=e^{-k}\\ Q(t)&=\left(e^{-k}\right)^t=q^{\frac{t}{3}} \\ \text{반감기는 $Q(t)=\frac{1}{2}Q(0)=\frac{1}{2}$ 이 되는 $t$ 의 값이다.} \\ \frac{1}{2}&=Q(t)=q^{\frac{t}{3}}\\ \log\left(\frac{1}{2}\right)&=\log\left(q^{\frac{t}{3}}\right)\\ -\log 2 &=\frac{t}{3}\log q\\ t&=\frac{-3\log 2}{\log q} \end{aligned}$

따라서 계산된 반감기는 $\dfrac{-3\log 2}{\log q}$ 이다. 이로써 첫 번째 목표, 즉 계산된 원소의 반감기를 나타내는 함수 $h(q)$ 를 얻는다.

$\begin{aligned}h(q)&=\dfrac{-3\log2}{\log q} \\ \text{계획에 따라 $h'(0.9)$ 를 구한다.} \\ h'(q)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\left\{\dfrac{-3\log2}{\log q}\right\}\\ &=-3\log 2\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\left\{\left(\log q\right)^{-1}\right\}\\ &=-3\log 2\cdot(-1)\left(\log q\right)^{-2}\cdot\frac{1}{q}\\ &=\frac{3\log 2}{q\log^2q}\\ h'(0.9)&=\frac{3\log2}{0.9\log^2(0.9)}\approx 208 \\ \text{마지막으로, 계획에서 정리한 대로, } \\ \left|\Delta h\right|&=h'(0.9)\cdot0.05\\ &=\frac{3\log2}{18\log^2(0.9)}\approx 10.4 \end{aligned}$

측정값이 $\pm 0.05$ $\mu$ g 만큼 변하면, 계산된 반감기는 약 $\pm$ 10.4년 변하는 것으로 어림된다. 측정값이 $0.05$ $\mu$ g 이내로 정확하므로, 계산된 반감기는 약 10.4년 이내로 정확하다고 어림할 수 있다.

참고: $h(0.9)=\dfrac{-3\log 2}{\log 0.9} \approx 19.7$ 이므로, 10.4년의 절대 오차는 백분율 오차 $100\dfrac{10.4}{19.7}\approx 53\%$ 에 해당한다. 문제에서는 절대 오차인지 백분율 오차인지 정하지 않았다. 둘 다 의미가 있으므로 어느 쪽을 써도 된다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차그래프·표 해석보통자동 분류