테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 1번

CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x)$ 의 $x=1$ 에서의 3차 테일러 다항식이 $T_3(x)=x^3-5x^2+9x$ 일 때, $f''(1)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

The 3rd order Taylor polynomial for a function $f(x)$ about $x=1$ is $T_3(x)=x^3-5x^2+9x$ What is $f''(1)$ ?

정답·풀이 보기

$T_3(x)$ 는 $f(x)$ 의 $x=1$ 에서의 3차 테일러 다항식이므로

$T_3(1)=f(1)$
$T_3'(1)=f'(1)$
$T_3''(1)=f''(1)$
$T_3'''(1)=f'''(1)$

특히 $f''(1)=T_3''(1)$ 이다.

$\begin{aligned} T_3'(x)&=3x^2-10x+9\\ T_3''(x)&=6x-10\\ T_3''(1)&=6-10=-4 \end{aligned}$

따라서 $f''(1)=-4$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $T_3(x)$ is the third order Taylor polynomial for $f(x)$ about $x=1$ :

$T_3(1)=f(1)$
$T_3'(1)=f'(1)$
$T_3''(1)=f''(1)$
$T_3'''(1)=f'''(1)$

In particular, $f''(1)=T_3''(1)$ .

$\begin{aligned} T_3'(x)&=3x^2-10x+9\\ T_3''(x)&=6x-10\\ T_3''(1)&=6-10=-4 \end{aligned}$

So, $f''(1)=-4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 1번우리말 번역

$f(x)=7x^2-3x+4$ 라 하자. $x$ 의 측정값이 $x_0 = 2$ 이지만 $x$ 의 실제 값은 $x_0+\Delta x$ 라 하자. 또한 측정 오차가 $\Delta x = 1$ 이라 하자. $x_0$ 에서 $x$ 가 $\Delta x$ 만큼 변할 때 $f(x)$ 의 변화량을 $\Delta y$ 라 하자. 즉, $\Delta y = f\left(x_0+\Delta x\right)-f(x_0)$ 이다.

다음이 참인지 거짓인지 판단하세요: $\Delta y = f'(2)(1)=25$

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거짓이다. 선형 근사는 근삿값일 뿐이다. 선형 근사로부터 $\Delta y \approx f'(x_0)\Delta x=f'(2)(1)=25$ 를 얻는다. 그러나 $\Delta y$ 의 정의에 따르면 $\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f(2+1)-f(2)=58-26=32$ 이다.

참고: 이 절의 계산은 실제 오차의 한계가 아니라 오차 한계의 추정임을 강조하기 위한 것이다. 우리가 말할 수 있는 것은 오차가 어떤 수보다 크지 않을 것이라고 추정한다는 것뿐이며, 그것을 보장하지는 않는다.

다음 절에서는 정확함이 보장되는 오차 한계를 소개할 것이다. 이는 대개 이 절의 추정보다 계산하기가 더 어렵다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차계산기본자동 분류