테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 1번

CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

$f(x)=7x^2-3x+4$ 라 하자. $x$ 의 측정값이 $x_0 = 2$ 이지만 $x$ 의 실제 값은 $x_0+\Delta x$ 라 하자. 또한 측정 오차가 $\Delta x = 1$ 이라 하자. $x_0$ 에서 $x$ 가 $\Delta x$ 만큼 변할 때 $f(x)$ 의 변화량을 $\Delta y$ 라 하자. 즉, $\Delta y = f\left(x_0+\Delta x\right)-f(x_0)$ 이다.

다음이 참인지 거짓인지 판단하세요: $\Delta y = f'(2)(1)=25$

영어 원문 보기

Let $f(x)=7x^2-3x+4$ . Suppose we measure $x$ to be $x_0 = 2$ but that the real value of $x$ is $x_0+\Delta x$ . Suppose further that the error in our measurement is $\Delta x = 1$ . Let $\Delta y$ be the change in $f(x)$ corresponding to a change of $\Delta x$ in $x_0$ . That is, $\Delta y = f\left(x_0+\Delta x\right)-f(x_0)$ .

True or false: $\Delta y = f'(2)(1)=25$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거짓이다. 선형 근사는 근삿값일 뿐이다. 선형 근사로부터 $\Delta y \approx f'(x_0)\Delta x=f'(2)(1)=25$ 를 얻는다. 그러나 $\Delta y$ 의 정의에 따르면 $\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f(2+1)-f(2)=58-26=32$ 이다.

참고: 이 절의 계산은 실제 오차의 한계가 아니라 오차 한계의 추정임을 강조하기 위한 것이다. 우리가 말할 수 있는 것은 오차가 어떤 수보다 크지 않을 것이라고 추정한다는 것뿐이며, 그것을 보장하지는 않는다.

다음 절에서는 정확함이 보장되는 오차 한계를 소개할 것이다. 이는 대개 이 절의 추정보다 계산하기가 더 어렵다.

원본 교재 풀이(영어)

False. The linear approximation is an approximation. It tells us $\Delta y \approx f'(x_0)\Delta x=f'(2)(1)=25$ However, from our definition of $\Delta y$ , $\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f(2+1)-f(2)=58-26=32$

Remark: this is to emphasize that the calculations in this subsection are estimations of error bounds, rather than actual error bounds. All we can say is that we estimate the error will be no more than some number–we don't guarantee it.

In the next subsection, we will introduce an error bound that is guaranteed to be accurate. It is usually harder to calculate than the estimations in this section.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 3번우리말 번역

함수 $f(x)$ 의 4차 매클로린 다항식이 $T_4(x)=x^4-x^3+x^2-x+1$ 일 때, $f(x)$ 의 3차 매클로린 다항식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)$ 의 4차 매클로린 다항식은

$\begin{aligned} T_4(x)&=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+\frac{1}{3!}f'''(0)x^3+\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)x^4 \\ \text{이고, $f(x)$ 의 3차 매클로린 다항식은} \\ T_3(x)&=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+\frac{1}{3!}f'''(0)x^3 \\ \text{따라서 $T_4(x)$ 에서 $x^4$ 을 포함한 항을 그냥 ``잘라 내면" 된다:} \\ T_3(x)&=-x^3+x^2-x+1 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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