테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 5번

CLP-1 · 3.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

임의의 짝수 $n$ 에 대해, 함수 $f(x)$ 의 $x=5$ 에서의 $n$ 차 테일러 다항식이 $\sum_{k=0}^{n/2} \frac{2k+1}{3k-9}(x-5)^{2k}$ 라고 하자. $f^{(10)}(5)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For any even number $n$ , suppose the $n$ th order Taylor polynomial for $f(x)$ about $x=5$ is $\sum_{k=0}^{n/2} \frac{2k+1}{3k-9}(x-5)^{2k}$ What is $f^{(10)}(5)$ ?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 의 $x=5$ 에서의 $n$ 차 테일러 다항식은

$\begin{aligned}T_n(x)&=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}f^{(k)}(5)(x-5)^{k} \\ \text{이를 어느 정도 전개하면:} \\ T_n(x)&=f(5)+f'(x-5) + \cdots + \boxed{\frac{1}{10!}f^{(10)}(5)(x-5)^{10}}+\cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(5)(x-5)^n \\ \text{따라서 $(x-5)^{10}$ 의 계수는 $\dfrac{1}{10!}f^{(10)}(5)$ 이다. 주어진 꼴의 테일러 다항식을 전개하면:} \\ T_n(x)&=\sum_{k=0}^{n/2} \frac{2k+1}{3k-9}(x-5)^{2k}\\ &= \underbrace{\frac{1}{-9}}_{k=0}+ \underbrace{\frac{3}{-6}(x-5)^2}_{k=1}+\cdots+ \underbrace{\boxed{\frac{11}{6}(x-5)^{10}}}_{k=5}+\cdots+ \underbrace{\frac{n+1}{(3/2)n-9}(x-5)^n}_{k=n/2} \\ \text{두 식에서 $(x-5)^{10}$ 의 계수를 같다고 놓으면:} \\ \frac{1}{10!}f^{(10)}(5)&=\frac{11}{6}\\ f^{(10)}(5)&=\frac{11\cdot 10!}{6} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The $n$ th order Taylor polynomial for $f(x)$ about $x=5$ is

$\begin{aligned}T_n(x)&=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}f^{(k)}(5)(x-5)^{k} \\ \text{We expand this somewhat:} \\ T_n(x)&=f(5)+f'(x-5) + \cdots + \boxed{\frac{1}{10!}f^{(10)}(5)(x-5)^{10}}+\cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(5)(x-5)^n \\ \text{So, the coefficient of $(x-5)^{10}$ is $\dfrac{1}{10!}f^{(10)}(5)$. Expanding the given form of the Taylor polynomial:} \\ T_n(x)&=\sum_{k=0}^{n/2} \frac{2k+1}{3k-9}(x-5)^{2k}\\ &= \underbrace{\frac{1}{-9}}_{k=0}+ \underbrace{\frac{3}{-6}(x-5)^2}_{k=1}+\cdots+ \underbrace{\boxed{\frac{11}{6}(x-5)^{10}}}_{k=5}+\cdots+ \underbrace{\frac{n+1}{(3/2)n-9}(x-5)^n}_{k=n/2} \\ \text{Equating the coefficients of $(x-5)^{10}$ in the two expressions:} \\ \frac{1}{10!}f^{(10)}(5)&=\frac{11}{6}\\ f^{(10)}(5)&=\frac{11\cdot 10!}{6} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 5번우리말 번역

반지름이 3인 원에서 부채꼴 하나를 잘라 냈다. 이 부채꼴은 작은 편이어서 원의 4분의 1을 넘지 않는다. 이 부채꼴의 넓이를 구하려고 한다.

(a) 부채꼴의 중심각을 $\theta$ 라 하자. 부채꼴의 넓이를 구하세요. (b) 안타깝게도 각도기가 없고 자만 있다. 그래서 부채꼴이 만드는 현(위 그림에서 $d$ 로 표시된 것)의 길이를 잰다. $\theta$ 를 $d$ 에 대한 식으로 나타내세요. (c) $d=0.7$ 로 측정했지만 실제로는 $d=0.68$ 이라고 하자. 잘라 낸 넓이를 계산할 때 생기는 절대오차를 어림하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 잘라 낸 부분의 넓이는 원 전체 넓이의 $\dfrac{\theta}{2\pi}$ 에 해당하며, 원 전체의 넓이는 $\pi(3^2)=9\pi$ 이다. 따라서 잘라 낸 부채꼴의 넓이는 $\dfrac{\theta}{2\pi} \cdot9\pi = \dfrac{9}{2}\theta$

(b) $d$ 로부터 $\theta$ 를 구하기 위해, 아래 그림과 같이 삼각형(각 $\theta$ 의 맞은변의 길이가 $d$ 인 삼각형)을 합동인 두 직각삼각형으로 나눈다.

원의 반지름(직각삼각형의 빗변이기도 하다)이 3이라는 사실을 이용하면,

$\begin{aligned} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)&=\frac{\frac{d}{2}}{3}=\frac{d}{6} \\ \text{문제에서 부채꼴이 원의 4분의 1을 넘지 않는다고 했으므로 $0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ 이고, 따라서 $0 \leq \dfrac{\theta}{2} \leq \dfrac{\pi}{4}$ 이다. 즉 $\dfrac{\theta}{2}$ 는 아크사인의 치역 안에 충분히 들어간다.} \\ \theta&=2\arcsin\left(\frac{d}{6}\right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} A&=\frac{9}{2}\theta = \frac{9}{2}\left(2\arcsin\left(\frac{d}{6}\right)\right) \\&=9\arcsin\left(\frac{d}{6}\right) \\ \text{미분하면,} \\ A'(d)&=\frac{9}{\sqrt{1-\left(\frac{d}{6}\right)^2}}\cdot\frac{1}{6}\\ &=\frac{9}{\sqrt{36-d^2}} \\ \text{$\Delta A$ 를 $d$ 의 오차 $\Delta d$ 에 대응하는 $A$ 의 오차라 하자. $d$ 를 $0.68$ 대신 0.7 로 측정했으므로, 일차근사에서 $\Delta d = 0.02$, $d_0=0.68$ 로 놓는다.} \\ \Delta A &\approx A'(d_0)\cdot\Delta d\\ &=A'\left(0.68\right)\cdot 0.02\\ &=\frac{9}{\sqrt{36-0.68^2}}\cdot0.02\\ &\approx 0.03 \end{aligned}$

따라서 $A$ 의 오차는 약 0.03 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차계산도전자동 분류