테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 5번

CLP-1 · 3.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

반지름이 3인 원에서 부채꼴 하나를 잘라 냈다. 이 부채꼴은 작은 편이어서 원의 4분의 1을 넘지 않는다. 이 부채꼴의 넓이를 구하려고 한다.

(a) 부채꼴의 중심각을 $\theta$ 라 하자. 부채꼴의 넓이를 구하세요. (b) 안타깝게도 각도기가 없고 자만 있다. 그래서 부채꼴이 만드는 현(위 그림에서 $d$ 로 표시된 것)의 길이를 잰다. $\theta$ 를 $d$ 에 대한 식으로 나타내세요. (c) $d=0.7$ 로 측정했지만 실제로는 $d=0.68$ 이라고 하자. 잘라 낸 넓이를 계산할 때 생기는 절대오차를 어림하세요.

영어 원문 보기

A circle with radius 3 has a sector cut out of it. It's a smallish sector, no more than a quarter of the circle. You want to find out the area of the sector.

(a) Suppose the angle of the sector is $\theta$ . What is the area of the sector? (b) Unfortunately, you don't have a protractor, only a ruler. So, you measure the chord made by the sector (marked $d$ in the diagram above). What is $\theta$ in terms of $d$ ? (c) Suppose you measured $d=0.7$ , but actually $d=0.68$ . Estimate the absolute error in your calculation of the area removed.

정답·풀이 보기

(a) 잘라 낸 부분의 넓이는 원 전체 넓이의 $\dfrac{\theta}{2\pi}$ 에 해당하며, 원 전체의 넓이는 $\pi(3^2)=9\pi$ 이다. 따라서 잘라 낸 부채꼴의 넓이는 $\dfrac{\theta}{2\pi} \cdot9\pi = \dfrac{9}{2}\theta$

(b) $d$ 로부터 $\theta$ 를 구하기 위해, 아래 그림과 같이 삼각형(각 $\theta$ 의 맞은변의 길이가 $d$ 인 삼각형)을 합동인 두 직각삼각형으로 나눈다.

원의 반지름(직각삼각형의 빗변이기도 하다)이 3이라는 사실을 이용하면,

$\begin{aligned} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)&=\frac{\frac{d}{2}}{3}=\frac{d}{6} \\ \text{문제에서 부채꼴이 원의 4분의 1을 넘지 않는다고 했으므로 $0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ 이고, 따라서 $0 \leq \dfrac{\theta}{2} \leq \dfrac{\pi}{4}$ 이다. 즉 $\dfrac{\theta}{2}$ 는 아크사인의 치역 안에 충분히 들어간다.} \\ \theta&=2\arcsin\left(\frac{d}{6}\right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} A&=\frac{9}{2}\theta = \frac{9}{2}\left(2\arcsin\left(\frac{d}{6}\right)\right) \\&=9\arcsin\left(\frac{d}{6}\right) \\ \text{미분하면,} \\ A'(d)&=\frac{9}{\sqrt{1-\left(\frac{d}{6}\right)^2}}\cdot\frac{1}{6}\\ &=\frac{9}{\sqrt{36-d^2}} \\ \text{$\Delta A$ 를 $d$ 의 오차 $\Delta d$ 에 대응하는 $A$ 의 오차라 하자. $d$ 를 $0.68$ 대신 0.7 로 측정했으므로, 일차근사에서 $\Delta d = 0.02$, $d_0=0.68$ 로 놓는다.} \\ \Delta A &\approx A'(d_0)\cdot\Delta d\\ &=A'\left(0.68\right)\cdot 0.02\\ &=\frac{9}{\sqrt{36-0.68^2}}\cdot0.02\\ &\approx 0.03 \end{aligned}$

따라서 $A$ 의 오차는 약 0.03 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The area removed represents a proportion of $\dfrac{\theta}{2\pi}$ of the entire circle, whose area is $\pi(3^2)=9\pi$ . So, the area of the sector removed is $\dfrac{\theta}{2\pi} \cdot9\pi = \dfrac{9}{2}\theta$

(b) To find $\theta$ from $d$ , we cut our triangle (with angle $\theta$ opposite side of length $d$ ) into two equivalent right triangles, as shown below.

Using the information that the radius of the circle (also the hypotenuse of the right triangle) is 3,

$\begin{aligned} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)&=\frac{\frac{d}{2}}{3}=\frac{d}{6} \\ \text{Since the question tells us the sector is no more than a quarter of the circle, we know $0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$, so $0 \leq \dfrac{\theta}{2} \leq \dfrac{\pi}{4}$. This puts $\dfrac{\theta}{2}$ well within the range of arcsine.} \\ \theta&=2\arcsin\left(\frac{d}{6}\right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} A&=\frac{9}{2}\theta = \frac{9}{2}\left(2\arcsin\left(\frac{d}{6}\right)\right) \\&=9\arcsin\left(\frac{d}{6}\right) \\ \text{Differentiating,} \\ A'(d)&=\frac{9}{\sqrt{1-\left(\frac{d}{6}\right)^2}}\cdot\frac{1}{6}\\ &=\frac{9}{\sqrt{36-d^2}} \\ \text{Let $\Delta A$ is the error in $A$ corresponding to an error of $\Delta d$ in $d$. Since we measured $d$ to be 0.7 instead of $0.68$, in the linear approximation we take $\Delta d = 0.02$ and $d_0=0.68$.} \\ \Delta A &\approx A'(d_0)\cdot\Delta d\\ &=A'\left(0.68\right)\cdot 0.02\\ &=\frac{9}{\sqrt{36-0.68^2}}\cdot0.02\\ &\approx 0.03 \end{aligned}$

So, the error in $A$ is about 0.03.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 3번우리말 번역

$f(x)=3x^2-5$ 라 하자. $x$ 를 $10$ 으로 측정했지만 실제 값이 $11$ 일 때, 선형 근사를 이용하여 $f(x)$ 에 생기는 오차를 어림하고, 이어서 이차 근사를 이용하여 어림하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f'(x)=6x$ 이므로 $x=10$ 일 때 $f'(10)=60$ 이다. $\Delta y=f(11)-f(10)$ , $\Delta x = 11-10$ 이라 하면 선형 근사로부터 $\Delta y \approx 60\Delta x = 60$ 을 얻는다. 따라서 선형 근사는 $f(x)$ 의 오차를 약 60 으로 어림한다.

$f''(x)=6$ 이므로 이차 근사( $f'(10)=60$ , $f''(10)=6$ , $\Delta x = 1$ 을 이용)로부터 $\Delta y \approx f'(10)\Delta x+\frac{1}{2}f''(1)\left(\Delta x\right)^2= 60\cdot 1 +\frac{1}{2}(6)(1)^2= 63$ 을 얻는다. 따라서 이차 근사는 $f(x)$ 의 오차를 약 63 으로 어림한다. (실제로 $f(11)-f(10)$ 의 정확한 값은 63 이다. 이차 근사로 어림한 오차가 실제 오차와 정확히 같은 것은 우연이 아니다. 이는 $f(x)$ 가 이차 함수라는 사실에서 비롯된 결과이다.)

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차그래프·표 해석보통자동 분류