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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

테일러 다항식과 오차

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

f(x)=2xf(x)=2^x 의 x=1x=1 에서의 nn차 테일러 다항식을 시그마 기호로 나타내세요.

영어 원문 보기

Write the nnth order Taylor polynomial for f(x)=2xf(x)=2^x about x=1x=1 in sigma notation.

정답·풀이 보기

먼저 f(x)f(x) 를 미분하면서 규칙을 찾아보자. log⁡2=log⁡e2\log 2 = \log_e 2 는 상수임을 기억하자.

f(x)=2xf′(x)=2xlog⁡2f′′(x)=2x(log⁡2)2f(3)(x)=2x(log⁡2)3f(4)(x)=2x(log⁡2)4f(5)(x)=2x(log⁡2)5따라서 일반적으로f(k)(x)=2x(log⁡2)k이 식은 k=0 과 k=1 일 때도 성립함을 알 수 있다. x=1 일 때f(k)(1)=2(log⁡2)kf(x) 의 x=1 에서의 n차 테일러 다항식은Tn(x)=∑k=0nf(k)(1)k!(x−1)k=∑k=0n2(log⁡2)kk!(x−1)k\begin{aligned} f(x)&=2^x\\ f'(x)&=2^x\log 2\\ f''(x)&=2^x\left(\log 2\right)^2\\ f^{(3)}(x)&=2^x\left(\log 2\right)^3\\ f^{(4)}(x)&=2^x\left(\log 2\right)^4\\ f^{(5)}(x)&=2^x\left(\log 2\right)^5 \\ \text{따라서 일반적으로} \\ f^{(k)}(x)&=2^x\left(\log 2\right)^k \\ \text{이 식은 $k=0$ 과 $k=1$ 일 때도 성립함을 알 수 있다. $x=1$ 일 때} \\ f^{(k)}(1)&=2\left(\log 2\right)^k \\ \text{$f(x)$ 의 $x=1$ 에서의 $n$차 테일러 다항식은} \\ T_{n}(x)&=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{2(\log 2)^k}{k!}(x-1)^k \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Let's start by differentiating f(x)f(x) and looking for a pattern. Remember that log⁡2=log⁡e2\log 2 = \log_e 2 is a constant number.

f(x)=2xf′(x)=2xlog⁡2f′′(x)=2x(log⁡2)2f(3)(x)=2x(log⁡2)3f(4)(x)=2x(log⁡2)4f(5)(x)=2x(log⁡2)5So, in general,f(k)(x)=2x(log⁡2)kWe notice that this formula works even when k=0 and k=1. When x=1,f(k)(1)=2(log⁡2)kThe nth order Taylor polynomial of f(x) about x=1 isTn(x)=∑k=0nf(k)(1)k!(x−1)k=∑k=0n2(log⁡2)kk!(x−1)k\begin{aligned} f(x)&=2^x\\ f'(x)&=2^x\log 2\\ f''(x)&=2^x\left(\log 2\right)^2\\ f^{(3)}(x)&=2^x\left(\log 2\right)^3\\ f^{(4)}(x)&=2^x\left(\log 2\right)^4\\ f^{(5)}(x)&=2^x\left(\log 2\right)^5 \\ \text{So, in general,} \\ f^{(k)}(x)&=2^x\left(\log 2\right)^k \\ \text{We notice that this formula works even when $k=0$ and $k=1$. When $x=1$,} \\ f^{(k)}(1)&=2\left(\log 2\right)^k \\ \text{The $n$th order Taylor polynomial of $f(x)$ about $x=1$ is} \\ T_{n}(x)&=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{2(\log 2)^k}{k!}(x-1)^k \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 4번우리말 번역

log⁡x\log x 는 xx 의 자연로그 log⁡ex\log_ex 임을 기억하고, f(x)=x2log⁡x+2x2+5f(x)=x^2\log x+2x^2+5 의 x=1x=1 에서의 6차 테일러 다항식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

x=1x=1 에서 f(x)f(x) 의 처음 여섯 개 도함수의 값, 즉 미분계수를 알아야 한다. 시작해 보자.

f(x)=x2log⁡x+2x2+5f(1)=7f′(x)=(x2)1x+(2x)log⁡x+4x=2xlog⁡x+5xf′(1)=5f′′(x)=(2x)1x+(2)log⁡x+5=2log⁡x+7f′′(1)=7f′′′(x)=2x−1f′′′(1)=2f(4)=−2x−2f(4)(1)=−2f(5)=4x−3f(5)(1)=4f(6)=−12x−4f(6)(1)=−12\begin{aligned} f(x)&=x^2\log x + 2x^2+5 & f(1)&=7\\ f'(x)&=(x^2)\frac{1}{x}+(2x)\log x + 4x \\ &=2x\log x + 5x& f'(1)&=5\\ f''(x)&=(2x)\frac{1}{x}+(2)\log x + 5\\ &=2\log x + 7& f''(1)&=7\\ f'''(x)&=2x^{-1}& f'''(1)&=2\\ f^{(4)}&=-2x^{-2}& f^{(4)}(1)&=-2\\ f^{(5)}&=4x^{-3}& f^{(5)}(1)&=4\\ f^{(6)}&=-12x^{-4}& f^{(6)}(1)&=-12 \end{aligned}

이제 대입하면 된다.

T6(x)=f(1)+f′(1)(x−1)+12f′′(1)(x−1)2+13!f′′′(1)(x−1)3+14!f(4)(1)(x−1)4+15!f(5)(1)(x−1)5+16!f(6)(1)(x−1)6=7+5(x−1)+12(7)(x−1)2+13!(2)(x−1)3+14!(−2)(x−1)4+15!(4)(x−1)5+16!(−12)(x−1)6=7+5(x−1)+72(x−1)2+13(x−1)3−112(x−1)4+130(x−1)5−160(x−1)6\begin{aligned} T_6(x)&= f(1)+ f'(1)(x-1)+\frac{1}{2} f''(1)(x-1)^2+\frac{1}{3!} f'''(1)(x-1)^3\\ &\quad +\frac{1}{4!} f^{(4)}(1)(x-1)^4 +\frac{1}{5!} f^{(5)}(1)(x-1)^5 +\frac{1}{6!} f^{(6)}(1)(x-1)^6\\ &= 7+ 5(x-1)+\frac{1}{2}( 7)(x-1)^2 +\frac{1}{3!}( 2)(x-1)^3\\ &\quad+\frac{1}{4!}( -2)(x-1)^4 +\frac{1}{5!}( 4)(x-1)^5 +\frac{1}{6!}( -12)(x-1)^6\\ &=7+5(x-1)+\frac{7}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3-\frac{1}{12}(x-1)^4+\frac{1}{30}(x-1)^5-\frac{1}{60}(x-1)^6 \end{aligned}

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