빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

테일러 다항식과 오차

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

log⁡x\log x 는 xx 의 자연로그 log⁡ex\log_ex 임을 기억하고, f(x)=x2log⁡x+2x2+5f(x)=x^2\log x+2x^2+5 의 x=1x=1 에서의 6차 테일러 다항식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the 6th order Taylor polynomial of f(x)=x2log⁡x+2x2+5f(x)=x^2\log x+2x^2+5 about x=1x=1, remembering that log⁡x\log x is the natural logarithm of xx, log⁡ex\log_ex.

정답·풀이 보기

x=1x=1 에서 f(x)f(x) 의 처음 여섯 개 도함수의 값, 즉 미분계수를 알아야 한다. 시작해 보자.

f(x)=x2log⁡x+2x2+5f(1)=7f′(x)=(x2)1x+(2x)log⁡x+4x=2xlog⁡x+5xf′(1)=5f′′(x)=(2x)1x+(2)log⁡x+5=2log⁡x+7f′′(1)=7f′′′(x)=2x−1f′′′(1)=2f(4)=−2x−2f(4)(1)=−2f(5)=4x−3f(5)(1)=4f(6)=−12x−4f(6)(1)=−12\begin{aligned} f(x)&=x^2\log x + 2x^2+5 & f(1)&=7\\ f'(x)&=(x^2)\frac{1}{x}+(2x)\log x + 4x \\ &=2x\log x + 5x& f'(1)&=5\\ f''(x)&=(2x)\frac{1}{x}+(2)\log x + 5\\ &=2\log x + 7& f''(1)&=7\\ f'''(x)&=2x^{-1}& f'''(1)&=2\\ f^{(4)}&=-2x^{-2}& f^{(4)}(1)&=-2\\ f^{(5)}&=4x^{-3}& f^{(5)}(1)&=4\\ f^{(6)}&=-12x^{-4}& f^{(6)}(1)&=-12 \end{aligned}

이제 대입하면 된다.

T6(x)=f(1)+f′(1)(x−1)+12f′′(1)(x−1)2+13!f′′′(1)(x−1)3+14!f(4)(1)(x−1)4+15!f(5)(1)(x−1)5+16!f(6)(1)(x−1)6=7+5(x−1)+12(7)(x−1)2+13!(2)(x−1)3+14!(−2)(x−1)4+15!(4)(x−1)5+16!(−12)(x−1)6=7+5(x−1)+72(x−1)2+13(x−1)3−112(x−1)4+130(x−1)5−160(x−1)6\begin{aligned} T_6(x)&= f(1)+ f'(1)(x-1)+\frac{1}{2} f''(1)(x-1)^2+\frac{1}{3!} f'''(1)(x-1)^3\\ &\quad +\frac{1}{4!} f^{(4)}(1)(x-1)^4 +\frac{1}{5!} f^{(5)}(1)(x-1)^5 +\frac{1}{6!} f^{(6)}(1)(x-1)^6\\ &= 7+ 5(x-1)+\frac{1}{2}( 7)(x-1)^2 +\frac{1}{3!}( 2)(x-1)^3\\ &\quad+\frac{1}{4!}( -2)(x-1)^4 +\frac{1}{5!}( 4)(x-1)^5 +\frac{1}{6!}( -12)(x-1)^6\\ &=7+5(x-1)+\frac{7}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3-\frac{1}{12}(x-1)^4+\frac{1}{30}(x-1)^5-\frac{1}{60}(x-1)^6 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We need to know the first six derivatives of f(x)f(x) at x=1x=1. Let's get started.

f(x)=x2log⁡x+2x2+5f(1)=7f′(x)=(x2)1x+(2x)log⁡x+4x=2xlog⁡x+5xf′(1)=5f′′(x)=(2x)1x+(2)log⁡x+5=2log⁡x+7f′′(1)=7f′′′(x)=2x−1f′′′(1)=2f(4)=−2x−2f(4)(1)=−2f(5)=4x−3f(5)(1)=4f(6)=−12x−4f(6)(1)=−12\begin{aligned} f(x)&=x^2\log x + 2x^2+5 & f(1)&=7\\ f'(x)&=(x^2)\frac{1}{x}+(2x)\log x + 4x \\ &=2x\log x + 5x& f'(1)&=5\\ f''(x)&=(2x)\frac{1}{x}+(2)\log x + 5\\ &=2\log x + 7& f''(1)&=7\\ f'''(x)&=2x^{-1}& f'''(1)&=2\\ f^{(4)}&=-2x^{-2}& f^{(4)}(1)&=-2\\ f^{(5)}&=4x^{-3}& f^{(5)}(1)&=4\\ f^{(6)}&=-12x^{-4}& f^{(6)}(1)&=-12 \end{aligned}

Now, we can plug in.

T6(x)=f(1)+f′(1)(x−1)+12f′′(1)(x−1)2+13!f′′′(1)(x−1)3+14!f(4)(1)(x−1)4+15!f(5)(1)(x−1)5+16!f(6)(1)(x−1)6=7+5(x−1)+12(7)(x−1)2+13!(2)(x−1)3+14!(−2)(x−1)4+15!(4)(x−1)5+16!(−12)(x−1)6=7+5(x−1)+72(x−1)2+13(x−1)3−112(x−1)4+130(x−1)5−160(x−1)6\begin{aligned} T_6(x)&= f(1)+ f'(1)(x-1)+\frac{1}{2} f''(1)(x-1)^2+\frac{1}{3!} f'''(1)(x-1)^3\\ &\quad +\frac{1}{4!} f^{(4)}(1)(x-1)^4 +\frac{1}{5!} f^{(5)}(1)(x-1)^5 +\frac{1}{6!} f^{(6)}(1)(x-1)^6\\ &= 7+ 5(x-1)+\frac{1}{2}( 7)(x-1)^2 +\frac{1}{3!}( 2)(x-1)^3\\ &\quad+\frac{1}{4!}( -2)(x-1)^4 +\frac{1}{5!}( 4)(x-1)^5 +\frac{1}{6!}( -12)(x-1)^6\\ &=7+5(x-1)+\frac{7}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3-\frac{1}{12}(x-1)^4+\frac{1}{30}(x-1)^5-\frac{1}{60}(x-1)^6 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 5번우리말 번역

11−x\dfrac{1}{1-x} 의 nn차 매클로린 다항식을 시그마 기호로 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

먼저 미분하면서 규칙을 찾아보자.

f(x)=11−x=(1−x)−1연쇄법칙을 이용하면,f′(x)=(−1)(1−x)−2(−1)=(1−x)−2f′′(x)=(−2)(1−x)−3(−1)=2(1−x)−3f(3)(x)=(−3)(2)(1−x)−4(−1)=2(3)(1−x)−4f(4)(x)=(−4)(2)(3)(1−x)−5(−1)=2(3)(4)(1−x)−5f(5)(x)=(−5)(2)(3)(4)(1−x)−6(−1)=2(3)(4)(5)(1−x)−6규칙을 알아내면,f(k)(x)=k!(1−x)−(k+1)f(k)(0)=k!(1)−(k+1)=k!f(x) 의 n차 매클로린 다항식은Tn(x)=∑k=0nf(k)(0)k!xk=∑k=0nk!k!xk=∑k=0nxk\begin{aligned} f(x)&=\frac{1}{1-x}=(1-x)^{-1} \\ \text{연쇄법칙을 이용하면,} \\ f'(x)&=(-1)(1-x)^{-2}(-1)=(1-x)^{-2}\\ f''(x)&=(-2)(1-x)^{-3}(-1)=2(1-x)^{-3}\\ f^{(3)}(x)&=(-3)(2)(1-x)^{-4}(-1)=2(3)(1-x)^{-4}\\ f^{(4)}(x)&=(-4)(2)(3)(1-x)^{-5}(-1)=2(3)(4)(1-x)^{-5}\\ f^{(5)}(x)&=(-5)(2)(3)(4)(1-x)^{-6}(-1)=2(3)(4)(5)(1-x)^{-6} \\ \text{규칙을 알아내면,} \\ f^{(k)}(x)&=k!(1-x)^{-(k+1)}\\ f^{(k)}(0)&=k!(1)^{-(k+1)}=k! \\ \text{$f(x)$ 의 $n$차 매클로린 다항식은} \\ T_n(x)&=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{k!}{k!}x^k\\ &=\sum_{k=0}^n x^k \end{aligned}

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