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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

테일러 다항식과 오차

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

11−x\dfrac{1}{1-x} 의 nn차 매클로린 다항식을 시그마 기호로 나타내세요.

영어 원문 보기

Give the nnth order Maclaurin polynomial for 11−x\dfrac{1}{1-x} in sigma notation.

정답·풀이 보기

먼저 미분하면서 규칙을 찾아보자.

f(x)=11−x=(1−x)−1연쇄법칙을 이용하면,f′(x)=(−1)(1−x)−2(−1)=(1−x)−2f′′(x)=(−2)(1−x)−3(−1)=2(1−x)−3f(3)(x)=(−3)(2)(1−x)−4(−1)=2(3)(1−x)−4f(4)(x)=(−4)(2)(3)(1−x)−5(−1)=2(3)(4)(1−x)−5f(5)(x)=(−5)(2)(3)(4)(1−x)−6(−1)=2(3)(4)(5)(1−x)−6규칙을 알아내면,f(k)(x)=k!(1−x)−(k+1)f(k)(0)=k!(1)−(k+1)=k!f(x) 의 n차 매클로린 다항식은Tn(x)=∑k=0nf(k)(0)k!xk=∑k=0nk!k!xk=∑k=0nxk\begin{aligned} f(x)&=\frac{1}{1-x}=(1-x)^{-1} \\ \text{연쇄법칙을 이용하면,} \\ f'(x)&=(-1)(1-x)^{-2}(-1)=(1-x)^{-2}\\ f''(x)&=(-2)(1-x)^{-3}(-1)=2(1-x)^{-3}\\ f^{(3)}(x)&=(-3)(2)(1-x)^{-4}(-1)=2(3)(1-x)^{-4}\\ f^{(4)}(x)&=(-4)(2)(3)(1-x)^{-5}(-1)=2(3)(4)(1-x)^{-5}\\ f^{(5)}(x)&=(-5)(2)(3)(4)(1-x)^{-6}(-1)=2(3)(4)(5)(1-x)^{-6} \\ \text{규칙을 알아내면,} \\ f^{(k)}(x)&=k!(1-x)^{-(k+1)}\\ f^{(k)}(0)&=k!(1)^{-(k+1)}=k! \\ \text{$f(x)$ 의 $n$차 매클로린 다항식은} \\ T_n(x)&=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{k!}{k!}x^k\\ &=\sum_{k=0}^n x^k \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We'll start by differentiating and looking for a pattern.

f(x)=11−x=(1−x)−1Using the chain rule,f′(x)=(−1)(1−x)−2(−1)=(1−x)−2f′′(x)=(−2)(1−x)−3(−1)=2(1−x)−3f(3)(x)=(−3)(2)(1−x)−4(−1)=2(3)(1−x)−4f(4)(x)=(−4)(2)(3)(1−x)−5(−1)=2(3)(4)(1−x)−5f(5)(x)=(−5)(2)(3)(4)(1−x)−6(−1)=2(3)(4)(5)(1−x)−6Recognizing the pattern,f(k)(x)=k!(1−x)−(k+1)f(k)(0)=k!(1)−(k+1)=k!The nth order Maclaurin polynomial for f(x) isTn(x)=∑k=0nf(k)(0)k!xk=∑k=0nk!k!xk=∑k=0nxk\begin{aligned} f(x)&=\frac{1}{1-x}=(1-x)^{-1} \\ \text{Using the chain rule,} \\ f'(x)&=(-1)(1-x)^{-2}(-1)=(1-x)^{-2}\\ f''(x)&=(-2)(1-x)^{-3}(-1)=2(1-x)^{-3}\\ f^{(3)}(x)&=(-3)(2)(1-x)^{-4}(-1)=2(3)(1-x)^{-4}\\ f^{(4)}(x)&=(-4)(2)(3)(1-x)^{-5}(-1)=2(3)(4)(1-x)^{-5}\\ f^{(5)}(x)&=(-5)(2)(3)(4)(1-x)^{-6}(-1)=2(3)(4)(5)(1-x)^{-6} \\ \text{Recognizing the pattern,} \\ f^{(k)}(x)&=k!(1-x)^{-(k+1)}\\ f^{(k)}(0)&=k!(1)^{-(k+1)}=k! \\ \text{The $n$th order Maclaurin polynomial for $f(x)$ is} \\ T_n(x)&=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{k!}{k!}x^k\\ &=\sum_{k=0}^n x^k \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 7번우리말 번역

6arctan⁡x6\arctan x 의 5차 매클로린 다항식을 이용하여 π\pi 를 어림하세요.

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6arctan⁡(13)=6(π6)=π6\arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)=6\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\pi 임에 주목한다. f(x)=6arctan⁡xf(x)=6\arctan x 의 5차 매클로린 다항식 T5(x)T_5(x) 를 구하자. 그러면 π=f(13)≈T5(13)\pi=f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx T_5\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) 이다. 먼저 f(x)=6arctan⁡xf(x)=6\arctan x 의 처음 다섯 개의 도함수를 구하자.

f(x)=6arctan⁡xf(0)=0f′(x)=6(11+x2)f′(0)=6f′′(x)=6(0−2x(1+x2)2)=−12(x(1+x2)2)f′′(0)=0f′′′(x)=−12((1+x2)2−x⋅2(1+x2)(2x)(1+x2)4)=−12((1+x2)−4x2(1+x2)3)=−12(1−3x2(1+x2)3)f′′′(0)=−12f(4)(x)=−12((1+x2)3(−6x)−(1−3x2)⋅3(1+x2)2(2x)(1+x2)6)=−12(−6x(1+x2)−6x(1−3x2)(1+x2)4)=144(x−x3(1+x2)4)f(4)(0)=0f(5)(x)=144((1+x2)4(1−3x2)−(x−x3)⋅4(1+x2)3(2x)(1+x2)8)=144((1+x2)(1−3x2)−8x(x−x3)(1+x2)5)=1445x4−10x2+1(1+x2)5f(5)(0)=144\begin{aligned} f(x)&=6\arctan x&f(0)&=0\\ f'(x)&=6\left(\frac{1}{1+x^2}\right)&f'(0)&=6\\ f''(x)&=6\left(\frac{0-2x}{(1+x^2)^2}\right)=-12\left(\frac{x}{(1+x^2)^2}\right)&f''(0)&=0\\ f'''(x)&=-12\left(\frac{(1+x^2)^2-x\cdot 2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4}\right)\\ &=-12\left(\frac{(1+x^2)-4x^2}{(1+x^2)^3}\right)\\ &=-12\left(\frac{1-3x^2}{(1+x^2)^3}\right)&f'''(0)&=-12\\ f^{(4)}(x)&=-12\left(\frac{(1+x^2)^3(-6x)-(1-3x^2)\cdot3(1+x^2)^2(2x)}{(1+x^2)^6}\right)\\ &=-12\left(\frac{-6x(1+x^2)-6x(1-3x^2)}{(1+x^2)^4}\right)\\ &=144\left(\frac{x-x^3}{(1+x^2)^4}\right)&f^{(4)}(0)&=0\\ f^{(5)}(x)&=144\left(\frac{(1+x^2)^4(1-3x^2)-(x-x^3)\cdot4(1+x^2)^3(2x)}{(1+x^2)^{8}}\right)\\ &=144\left(\frac{(1+x^2)(1-3x^2)-8x(x-x^3)}{(1+x^2)^{5}}\right)\\ &=144\frac{5x^4-10x^2+1}{(1+x^2)^5}&f^{(5)}(0)&=144 \end{aligned}

이제 이 값들을 이용하여 f(x)f(x) 의 5차 매클로린 다항식을 계산한다.

T5(x)=f(0)+f′(0)x+12f′′(0)x2+13!f′′′(0)x3+14!f(4)(0)x4+15!f(5)(0)x5=6x−126x3+144120x5=6x−2x3+65x5이제 f(13)=6arctan⁡(13)=π 를 어림하면:π=f(13)≈T5(13)=63−233+6535=23(1−13⋅3+15⋅9)≈3.156\begin{aligned} T_5(x)&=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+\frac{1}{3!}f'''(0)x^3+\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)x^4 +\frac{1}{5!}f^{(5)}(0)x^5\\ &=6x-\frac{12}{6}x^3+\frac{144}{120}x^5\\ &=6x-2x^3+\frac{6}{5}x^5 \\ \text{이제 $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=6\arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\pi$ 를 어림하면:} \\ \pi&=f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx T_5\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)= \frac{6}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{3}^3}+\frac{6}{5\sqrt{3}^5}\\ &=2\sqrt{3}\left(1-\frac{1}{3\cdot3}+\frac{1}{5\cdot 9}\right)\approx 3.156 \end{aligned}

참고: π\pi 를 원하는 정확도까지 계산하는 방법은 매우 많다. 그중 많은 방법이 arctan⁡x\arctan x 의 매클로린 전개를 이용한다. 1706년 존 머신은 매클로린 전개와 π=16arctan⁡15−4arctan⁡1239\pi = 16 \arctan\frac{1}{5} -4\arctan\frac{1}{239} 을 함께 이용하여 π\pi 를 소수 100자리까지 계산하였다.

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# 테일러 다항식과 오차계산보통자동 분류

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