테일러 다항식과 오차

다음을 떠올리자.

$$T_{2n}(x)=\sum_{k=0}^{2n} \frac{f^{(k)}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{k!}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^k$$

먼저 도함수를 몇 개 구해 보자. 물론 사인 함수를 미분하므로 도함수는 네 번마다 반복된다.

$$\begin{aligned} f(x)&=\sin x & f\left(\frac{\pi}{4}\right)&=\frac{1}{\sqrt 2}\\ f'(x)&=\cos x & f'\left(\frac{\pi}{4}\right)&=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ f''(x)&=-\sin x & f''\left(\frac{\pi}{4}\right)&=-\frac{1}{\sqrt 2}\\ f'''(x)&=-\cos x & f'''\left(\frac{\pi}{4}\right)&=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \end{aligned}$$

따라서 미분계수의 규칙은 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, … 이다. 이것을 시그마 기호로 나타내기는 조금 까다롭다. 짝수 거듭제곱과 홀수 거듭제곱을 나누면 같은 값이 두 번씩 나오는 부분을 처리할 수 있다. $\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 의 짝수 거듭제곱을 포함하는 $T_{2n}$ 의 처음 몇 개의 항은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{k=0} -\underbrace{\frac{1}{2!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2}}_{k=2} +\underbrace{\frac{1}{4!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{4}}_{k=4} \end{aligned}$$

이웃한 항끼리 부호가 번갈아 나타남을 알 수 있다. 따라서 $k$ 를 $2\ell$ 로 바꿔 쓰면 이 항들은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{\ell=0} -\underbrace{\frac{1}{2!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2}}_{\ell=1} +\underbrace{\frac{1}{4!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{4}}_{\ell=2} \end{aligned}$$

여기서 $\ell^{\rm th}$ 번째 항은 $\frac{(-1)^\ell}{(2\ell)!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2\ell}$ 이다. 이것이 정말 $\ell^{\rm th}$ 번째 항인지 확인하려면 $\ell=0,1,2$ 에 대해 직접 계산해 보면 된다. $k=2n$ 일 때 $\ell=n$ 이므로

$$\begin{aligned} \sum_{\genfrac{}{}{0in}{}{0\le k\le 2n}{k{\rm\ even}}} \frac{f^{(k)}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{k!}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^k =\sum_{\ell=0}^{n}\frac{(-1)^\ell}{(2\ell)!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2\ell} \end{aligned}$$

이제 홀수 거듭제곱을 살펴보자. $\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 의 홀수 거듭제곱을 포함하는 $T_{2n}$ 의 처음 몇 개의 항은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}_{k=1} -\underbrace{\frac{1}{3!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{3}}_{k=3} +\underbrace{\frac{1}{5!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{5}}_{k=5} \end{aligned}$$

이번에도 이웃한 항끼리 부호가 번갈아 나타남을 알 수 있다. 따라서 $k$ 를 $2\ell+1$ 로 바꿔 쓰면 이 항들은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}_{\ell=0} -\underbrace{\frac{1}{3!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{3}}_{\ell=1} +\underbrace{\frac{1}{5!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{5}}_{\ell=2} \end{aligned}$$

여기서 $\ell^{\rm th}$ 번째 항은 $\frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2\ell+1}$ 이다. 이것이 정말 $\ell^{\rm th}$ 번째 항인지 확인하려면 $\ell=0,1,2$ 에 대해 직접 계산해 보면 된다. $2n$ 보다 작은 가장 큰 홀수 정수는 $2n-1$ 이고, $k=2n-1=2\ell+1$ 일 때 $\ell=n-1$ 이므로

$$\begin{aligned} \sum_{\genfrac{}{}{0in}{}{0\le k\le 2n}{k{\rm\ odd}}} \frac{f^{(k)}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{k!}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^k =\sum_{\ell=0}^{n-1}\frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2\ell+1} \end{aligned}$$

짝수 거듭제곱과 홀수 거듭제곱을 합치면

$$\begin{aligned} T_{2n}(x)&=\sum_{\ell=0}^{n}\frac{(-1)^\ell}{(2\ell)!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2\ell} +\sum_{\ell=0}^{n-1}\frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2\ell+1} \end{aligned}$$