테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 9번

CLP-1 · 3.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

$x=\dfrac{\pi}{4}$ 에서 $f(x)=\sin x$ 의 $(2n)$ 차 테일러 다항식을 시그마 기호로 나타내세요.

영어 원문 보기

Write the $(2n)$ th order Taylor polynomial for $f(x)=\sin x$ about $x=\dfrac{\pi}{4}$ in sigma notation.

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다음을 떠올리자.

$T_{2n}(x)=\sum_{k=0}^{2n} \frac{f^{(k)}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{k!}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^k$

먼저 도함수를 몇 개 구해 보자. 물론 사인 함수를 미분하므로 도함수는 네 번마다 반복된다.

$\begin{aligned} f(x)&=\sin x & f\left(\frac{\pi}{4}\right)&=\frac{1}{\sqrt 2}\\ f'(x)&=\cos x & f'\left(\frac{\pi}{4}\right)&=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ f''(x)&=-\sin x & f''\left(\frac{\pi}{4}\right)&=-\frac{1}{\sqrt 2}\\ f'''(x)&=-\cos x & f'''\left(\frac{\pi}{4}\right)&=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \end{aligned}$

따라서 미분계수의 규칙은 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , … 이다. 이것을 시그마 기호로 나타내기는 조금 까다롭다. 짝수 거듭제곱과 홀수 거듭제곱을 나누면 같은 값이 두 번씩 나오는 부분을 처리할 수 있다. $\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 의 짝수 거듭제곱을 포함하는 $T_{2n}$ 의 처음 몇 개의 항은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{k=0} -\underbrace{\frac{1}{2!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2}}_{k=2} +\underbrace{\frac{1}{4!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{4}}_{k=4} \end{aligned}$

이웃한 항끼리 부호가 번갈아 나타남을 알 수 있다. 따라서 $k$ 를 $2\ell$ 로 바꿔 쓰면 이 항들은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{\ell=0} -\underbrace{\frac{1}{2!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2}}_{\ell=1} +\underbrace{\frac{1}{4!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{4}}_{\ell=2} \end{aligned}$

여기서 $\ell^{\rm th}$ 번째 항은 $\frac{(-1)^\ell}{(2\ell)!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2\ell}$ 이다. 이것이 정말 $\ell^{\rm th}$ 번째 항인지 확인하려면 $\ell=0,1,2$ 에 대해 직접 계산해 보면 된다. $k=2n$ 일 때 $\ell=n$ 이므로

$\begin{aligned} \sum_{\genfrac{}{}{0in}{}{0\le k\le 2n}{k{\rm\ even}}} \frac{f^{(k)}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{k!}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^k =\sum_{\ell=0}^{n}\frac{(-1)^\ell}{(2\ell)!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2\ell} \end{aligned}$

이제 홀수 거듭제곱을 살펴보자. $\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 의 홀수 거듭제곱을 포함하는 $T_{2n}$ 의 처음 몇 개의 항은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}_{k=1} -\underbrace{\frac{1}{3!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{3}}_{k=3} +\underbrace{\frac{1}{5!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{5}}_{k=5} \end{aligned}$

이번에도 이웃한 항끼리 부호가 번갈아 나타남을 알 수 있다. 따라서 $k$ 를 $2\ell+1$ 로 바꿔 쓰면 이 항들은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}_{\ell=0} -\underbrace{\frac{1}{3!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{3}}_{\ell=1} +\underbrace{\frac{1}{5!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{5}}_{\ell=2} \end{aligned}$

여기서 $\ell^{\rm th}$ 번째 항은 $\frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2\ell+1}$ 이다. 이것이 정말 $\ell^{\rm th}$ 번째 항인지 확인하려면 $\ell=0,1,2$ 에 대해 직접 계산해 보면 된다. $2n$ 보다 작은 가장 큰 홀수 정수는 $2n-1$ 이고, $k=2n-1=2\ell+1$ 일 때 $\ell=n-1$ 이므로

$\begin{aligned} \sum_{\genfrac{}{}{0in}{}{0\le k\le 2n}{k{\rm\ odd}}} \frac{f^{(k)}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{k!}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^k =\sum_{\ell=0}^{n-1}\frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2\ell+1} \end{aligned}$

짝수 거듭제곱과 홀수 거듭제곱을 합치면

$\begin{aligned} T_{2n}(x)&=\sum_{\ell=0}^{n}\frac{(-1)^\ell}{(2\ell)!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2\ell} +\sum_{\ell=0}^{n-1}\frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2\ell+1} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Recall that

$T_{2n}(x)=\sum_{k=0}^{2n} \frac{f^{(k)}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{k!}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^k$

Let's start by taking some derivatives. Of course, since we're differentiating sine, the derivatives will repeat every four iterations.

So, the pattern of derivatives is $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , etc. This is a little tricky to write in sigma notation. We can deal with the “doubles" by separating the even and odd powers. The first few terms of $T_{2n}$ that contain even powers of $\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ are

Observe that the signs alternate between successive terms. So if we rename $k$ to $2\ell$ these terms are

and the $\ell^{\rm th}$ term here is $\frac{(-1)^\ell}{(2\ell)!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2\ell}$ . To verify that this really is the $\ell^{\rm th}$ term, evaluate this for $\ell=0,1,2$ explicitly. When $k=2n$ , $\ell=n$ so that

Now for the odd powers. The first few terms of $T_{2n}$ that contain odd powers of $\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ are

Observe that the signs again alternate between successive terms. So if we rename $k$ to $2\ell+1$ these terms are

and the $\ell^{\rm th}$ term here is $\frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2\ell+1}$ . To verify that this really is the $\ell^{\rm th}$ term, evaluate this for $\ell=0,1,2$ explicitly. The largest odd integer that is smaller than $2n$ is $2n-1$ and when $k=2n-1=2\ell+1$ , $\ell=n-1$ so that

Putting the even and odd powers together

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 2번우리말 번역

$f(x)=2x+5$ 의 $x=a$ 에서의 이차근사를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 이차근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x) &\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 \\ \text{$f(a)=2a+5$, $f'(a)=2$, $f''(a)=0$ 을 대입하면:} \\ f(x) &\approx (2a+5)+2(x-a)=2x+5 \end{aligned}$

따라서 구하는 근사는 $f(x) \approx 2x+5$ 이다.

참고: 이 근사는 $x$ 의 모든 값에 대해 정확하다. 이차함수, 일차함수, 상수함수의 이차근사는 항상 이렇게 된다.

이 문제로 이어서 풀기

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