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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

선형근사와 미분소

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x 라 하자.

(a) 선형 근사를 이용하여 f(5.1)−f(5)f(5.1)-f(5) 를 어림하세요. (b) 이차 근사를 이용하여 f(5.1)−f(5)f(5.1)-f(5) 를 어림하세요.

영어 원문 보기

Let f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x.

(a) Use a linear approximation to estimate f(5.1)−f(5)f(5.1)-f(5). (b) Use a quadratic approximation to estimate f(5.1)−f(5)f(5.1)-f(5).

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

먼저 x=5x=5 에서 ff 의 1계 미분계수와 2계 미분계수를 구하자.

f′(x)=11+x2f′(5)=126f′′(x)=−2x(1+x2)2f′′(5)=−10262\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{1+x^2} & f'(5)&=\frac{1}{26}\\ f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2} & f''(5)&=\frac{-10}{26^2} \end{aligned}

Δx=110 일 때 Δy 의 선형 근사는Δy≈f′(5)Δx=126⋅110=1260≈0.003846Δx=110 일 때 Δy 의 이차 근사는Δy≈f′(5)Δx+12f′′(5)(Δx)2=126⋅110+12⋅−10262⋅1102=5113520≈0.003772\begin{aligned} \\ \text{$\Delta x = \dfrac{1}{10}$ 일 때 $\Delta y$ 의 선형 근사는} \\ \Delta y &\approx f'(5)\Delta x = \frac{1}{26}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{260} \approx 0.003846 \\ \text{$\Delta x = \dfrac{1}{10}$ 일 때 $\Delta y$ 의 이차 근사는} \\ \Delta y &\approx f'(5)\Delta x + \frac{1}{2}f''(5)\left(\Delta x\right)^2 = \frac{1}{26}\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{2}\cdot\frac{-10}{26^2}\cdot\frac{1}{10^2}=\frac{51}{13520}\approx 0.003772 \end{aligned}

참고: Δy=arctan⁡(5.1)−arctan⁡(5)≈0.003774\Delta y = \arctan(5.1)-\arctan(5)\approx 0.003774 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First, let's find the first and second derivatives of ff when x=5x=5.

f′(x)=11+x2f′(5)=126f′′(x)=−2x(1+x2)2f′′(5)=−10262\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{1+x^2} & f'(5)&=\frac{1}{26}\\ f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2} & f''(5)&=\frac{-10}{26^2} \end{aligned}

The linear approximation for Δy when Δx=110 isΔy≈f′(5)Δx=126⋅110=1260≈0.003846The quadratic approximation for Δy when Δx=110 isΔy≈f′(5)Δx+12f′′(5)(Δx)2=126⋅110+12⋅−10262⋅1102=5113520≈0.003772\begin{aligned} \\ \text{The linear approximation for $\Delta y$ when $\Delta x = \dfrac{1}{10}$ is} \\ \Delta y &\approx f'(5)\Delta x = \frac{1}{26}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{260} \approx 0.003846 \\ \text{The quadratic approximation for $\Delta y$ when $\Delta x = \dfrac{1}{10}$ is} \\ \Delta y &\approx f'(5)\Delta x + \frac{1}{2}f''(5)\left(\Delta x\right)^2 = \frac{1}{26}\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{2}\cdot\frac{-10}{26^2}\cdot\frac{1}{10^2}=\frac{51}{13520}\approx 0.003772 \end{aligned}

Remark: Δy=arctan⁡(5.1)−arctan⁡(5)≈0.003774\Delta y = \arctan(5.1)-\arctan(5)\approx 0.003774.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 2번우리말 번역

이 책의 이 부분까지는 숙제 문제 하나를 푸는 데 모두 약 5분이 걸립니다. 이 절에서 배운 용어를 사용하여 다음 질문에 답하세요. 15분을 더 쓰면 숙제 문제를 몇 개 더 끝낼 수 있습니까?

다 풀었으면 정답 확인

f(x)f(x) 를 xx 분 동안 공부했을 때 끝낸 문제의 수라 하자. 문제에서 5Δy≈Δx5\Delta y \approx \Delta x 임을 알 수 있다. 따라서 Δx=15\Delta x = 15 이면 Δy≈3\Delta y \approx 3 이다. 즉, 15분을 더 쓰면 약 3문제를 더 끝낼 것이다.

참고: 이 문제에 쓰인 수학은 일부러 쉽게 만든 것이다. Δy\Delta y 나 f(x+Δx)f\left(x+\Delta x\right) 같은 기호는 헷갈릴 수 있지만, 기본 개념은 꽤 간단하다.

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