테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 4번

CLP-1 · 3.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

농장에 원형 우리를 짓고 있다. 우리의 넓이는 오차 2% 이내로 $A_0$ 제곱미터여야 한다. 반지름에서 허용되는 최대 백분율 오차를 어림하세요.

영어 원문 보기

A circular pen is being built on a farm. The pen must contain $A_0$ square metres, with an error of no more than 2%. Estimate the largest percentage error allowable on the radius.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

반지름이 $r$ 인 우리의 넓이를 $A$ 라 하자. 그러면

$\begin{aligned} A(r)&=\pi r^2 \\ \text{$r$에 대해 미분하면,} \\ A'(r)&=2\pi r \\ \text{원하는 정확한 넓이는 $A_0$ 이다. 이에 대응하는 원하는 정확한 반지름을 $r_0$ 이라 하자.} \\ \\ \text{선형 근사식을 이용한다. 여기서 $\Delta A$ 는 $r$ 이 $\Delta r$ 만큼 변할 때 대응하는 $A$ 의 변화량이다.} \\ \Delta A &\approx A'(r_0)\Delta r = 2\pi r_0 \Delta r\\ \Delta r &\approx \dfrac{\Delta A}{2\pi r_0} \\ \text{우리가 알고 싶은 것은 $r$ 이 가질 수 있는 백분율 오차이다. 백분율 오차는 다음과 같다.} \\ 100\frac{\Delta r}{r_0}&\approx100\frac{\Delta A}{2\pi r_0\cdot r_0}\\ &=100\frac{\Delta A}{2(\pi r_0^2)}\\ &=100\frac{\Delta A}{2\cdot A_0}\\ &=\left( 100\frac{\Delta A}{A_0}\right)\frac{1}{2}\\ &\leq\left( 2\right)\frac{1}{2}=1 \end{aligned}$

(마지막 줄을 얻기 위해, 넓이의 백분율 오차 $100\dfrac{\Delta A}{A_0}$ 가 2%보다 작아야 한다는 주어진 정보를 이용했다.)

따라서 $r$ 의 오차는 1%를 넘을 수 없다고 결론짓는다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $A$ be the area of a pen of radius $r$ . Then

$\begin{aligned} A(r)&=\pi r^2 \\ \text{Differentiating with respect to $r$,} \\ A'(r)&=2\pi r \\ \text{The exact area desired is $A_0$. Let the corresponding exact radius desired be $r_0$.} \\ \\ \text{Using the linear approximation formula, where $\Delta A$ is the change in $A$ corresponding to a change in $r$ of $\Delta r$,} \\ \Delta A &\approx A'(r_0)\Delta r = 2\pi r_0 \Delta r\\ \Delta r &\approx \dfrac{\Delta A}{2\pi r_0} \\ \text{What we're interested in is the percent error $r$ can have. The percent error is:} \\ 100\frac{\Delta r}{r_0}&\approx100\frac{\Delta A}{2\pi r_0\cdot r_0}\\ &=100\frac{\Delta A}{2(\pi r_0^2)}\\ &=100\frac{\Delta A}{2\cdot A_0}\\ &=\left( 100\frac{\Delta A}{A_0}\right)\frac{1}{2}\\ &\leq\left( 2\right)\frac{1}{2}=1 \end{aligned}$

(To get the last line, we used the given information that the percent error in the area, $100\dfrac{\Delta A}{A_0}$ , must be less than 2%.)

We conclude the error in $r$ cannot be more than 1%.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 5번우리말 번역

임의의 짝수 $n$ 에 대해, 함수 $f(x)$ 의 $x=5$ 에서의 $n$ 차 테일러 다항식이 $\sum_{k=0}^{n/2} \frac{2k+1}{3k-9}(x-5)^{2k}$ 라고 하자. $f^{(10)}(5)$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)$ 의 $x=5$ 에서의 $n$ 차 테일러 다항식은

$\begin{aligned}T_n(x)&=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}f^{(k)}(5)(x-5)^{k} \\ \text{이를 어느 정도 전개하면:} \\ T_n(x)&=f(5)+f'(x-5) + \cdots + \boxed{\frac{1}{10!}f^{(10)}(5)(x-5)^{10}}+\cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(5)(x-5)^n \\ \text{따라서 $(x-5)^{10}$ 의 계수는 $\dfrac{1}{10!}f^{(10)}(5)$ 이다. 주어진 꼴의 테일러 다항식을 전개하면:} \\ T_n(x)&=\sum_{k=0}^{n/2} \frac{2k+1}{3k-9}(x-5)^{2k}\\ &= \underbrace{\frac{1}{-9}}_{k=0}+ \underbrace{\frac{3}{-6}(x-5)^2}_{k=1}+\cdots+ \underbrace{\boxed{\frac{11}{6}(x-5)^{10}}}_{k=5}+\cdots+ \underbrace{\frac{n+1}{(3/2)n-9}(x-5)^n}_{k=n/2} \\ \text{두 식에서 $(x-5)^{10}$ 의 계수를 같다고 놓으면:} \\ \frac{1}{10!}f^{(10)}(5)&=\frac{11}{6}\\ f^{(10)}(5)&=\frac{11\cdot 10!}{6} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차계산보통자동 분류