빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

테일러 다항식과 오차

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

어떤 시료가 처음에 방사성 동위 원소 정확히 1 μ\mug 으로 시작하고, 3년 후에 0.9 μ\mug 이 남아 있는 것으로 측정되었다. 이 측정값이 0.05 μ\mug 이내로 정확하다면, 이 측정값을 이용해 계산한 반감기의 정확도가 이에 따라 어느 정도인지 어림하세요.

영어 원문 보기

A sample begins with precisely 1 μ\mug of a radioactive isotope, and after 3 years is measured to have 0.9 μ\mug remaining. If this measurement is correct to within 0.05 μ\mug, estimate the corresponding accuracy of the half-life calculated using it.

정답·풀이 보기

qq 를 3년 후 남아 있는 동위 원소의 측정량이라 하자. h(q)h(q) 를 qq 를 이용해 계산한 동위 원소의 반감기라 하자. 측정값은 q=0.9q=0.9 이었으나, qq 가 0.05만큼 변할 때 hh 가 얼마나 변하는지 알고 싶다. 그래서 Δq=±0.05\Delta q= \pm 0.05 라 하고, Δh\Delta h 를 이에 대응하는 hh 의 변화량이라 하자. 선형 근사에 의해 다음을 얻는다.

Δh≈h′(0.9)Δq따라서,∣Δh∣≈∣h′(0.9)∣∣Δq∣=h′(0.9)⋅0.05\begin{aligned}\Delta h& \approx h'(0.9)\Delta q \\ \text{따라서,} \\ \left|\Delta h\right|&\approx\left| h'(0.9)\right|\left|\Delta q\right|= h'(0.9)\cdot 0.05 \end{aligned}

이것은 문제를 푸는 계획을 시사한다. 측정값 qq 를 바탕으로 계산한 동위 원소의 반감기를 나타내는 식 h(q)h(q) 를 구한다. 그런 다음 h′(0.9)h'(0.9) 를 구한다. 마지막으로, 식 ∣Δh∣=h′(0.9)⋅0.05\left|\Delta h\right|=h'(0.9)\cdot0.05 가 측정값의 0.05 변화에 대응하는 hh 의 변화량을 알려 준다.

3년 후 qq μ\mug 이 남아 있을 때 동위 원소의 반감기를 구해 보자. tt 년 후 존재하는 동위 원소의 양은 다음과 같다.

Q(t)=Q(0)e−kt어떤 상수 k 에 대해. 정확히 1 μg 이 있던 때를 t=0 이라 하자. 그러면Q(t)=e−kt3년 후 남아 있는 동위 원소의 양이 q 이므로q=e−k⋅3q13=e−kQ(t)=(e−k)t=qt3반감기는 Q(t)=12Q(0)=12 이 되는 t 의 값이다.12=Q(t)=qt3log⁡(12)=log⁡(qt3)−log⁡2=t3log⁡qt=−3log⁡2log⁡q\begin{aligned} Q(t)&=Q(0)e^{-kt} \\ \text{어떤 상수 $k$ 에 대해. 정확히 1 $\mu$g 이 있던 때를 $t=0$ 이라 하자. 그러면} \\ Q(t)&=e^{-kt} \\ \text{3년 후 남아 있는 동위 원소의 양이 $q$ 이므로} \\ q&=e^{-k\cdot 3}\\ q^{\frac{1}{3}}&=e^{-k}\\ Q(t)&=\left(e^{-k}\right)^t=q^{\frac{t}{3}} \\ \text{반감기는 $Q(t)=\frac{1}{2}Q(0)=\frac{1}{2}$ 이 되는 $t$ 의 값이다.} \\ \frac{1}{2}&=Q(t)=q^{\frac{t}{3}}\\ \log\left(\frac{1}{2}\right)&=\log\left(q^{\frac{t}{3}}\right)\\ -\log 2 &=\frac{t}{3}\log q\\ t&=\frac{-3\log 2}{\log q} \end{aligned}

따라서 계산된 반감기는 −3log⁡2log⁡q\dfrac{-3\log 2}{\log q} 이다. 이로써 첫 번째 목표, 즉 계산된 원소의 반감기를 나타내는 함수 h(q)h(q) 를 얻는다.

h(q)=−3log⁡2log⁡q계획에 따라 h′(0.9) 를 구한다.h′(q)=ddq{−3log⁡2log⁡q}=−3log⁡2⋅ddq{(log⁡q)−1}=−3log⁡2⋅(−1)(log⁡q)−2⋅1q=3log⁡2qlog⁡2qh′(0.9)=3log⁡20.9log⁡2(0.9)≈208마지막으로, 계획에서 정리한 대로, ∣Δh∣=h′(0.9)⋅0.05=3log⁡218log⁡2(0.9)≈10.4\begin{aligned}h(q)&=\dfrac{-3\log2}{\log q} \\ \text{계획에 따라 $h'(0.9)$ 를 구한다.} \\ h'(q)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\left\{\dfrac{-3\log2}{\log q}\right\}\\ &=-3\log 2\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\left\{\left(\log q\right)^{-1}\right\}\\ &=-3\log 2\cdot(-1)\left(\log q\right)^{-2}\cdot\frac{1}{q}\\ &=\frac{3\log 2}{q\log^2q}\\ h'(0.9)&=\frac{3\log2}{0.9\log^2(0.9)}\approx 208 \\ \text{마지막으로, 계획에서 정리한 대로, } \\ \left|\Delta h\right|&=h'(0.9)\cdot0.05\\ &=\frac{3\log2}{18\log^2(0.9)}\approx 10.4 \end{aligned}

측정값이 ±0.05\pm 0.05 μ\mug 만큼 변하면, 계산된 반감기는 약 ±\pm10.4년 변하는 것으로 어림된다. 측정값이 0.050.05 μ\mug 이내로 정확하므로, 계산된 반감기는 약 10.4년 이내로 정확하다고 어림할 수 있다.

참고: h(0.9)=−3log⁡2log⁡0.9≈19.7h(0.9)=\dfrac{-3\log 2}{\log 0.9} \approx 19.7 이므로, 10.4년의 절대 오차는 백분율 오차 10010.419.7≈53%100\dfrac{10.4}{19.7}\approx 53\% 에 해당한다. 문제에서는 절대 오차인지 백분율 오차인지 정하지 않았다. 둘 다 의미가 있으므로 어느 쪽을 써도 된다.

원본 교재 풀이(영어)

Let qq be the measured amount of the isotope remaining after 3 years. Let h(q)h(q) be the half-life of the isotope that we calculate using qq. We measured q=0.9q=0.9, but we want to know what the change in hh is if qq moves by 0.05. So, let Δq=±0.05\Delta q= \pm 0.05, and let Δh\Delta h be the corresponding change in hh. The linear approximation tells us

Δh≈h′(0.9)ΔqSo,∣Δh∣≈∣h′(0.9)∣∣Δq∣=h′(0.9)⋅0.05\begin{aligned}\Delta h& \approx h'(0.9)\Delta q \\ \text{So,} \\ \left|\Delta h\right|&\approx\left| h'(0.9)\right|\left|\Delta q\right|= h'(0.9)\cdot 0.05 \end{aligned}

This suggests a plan for solving the problem. We will find the equation h(q)h(q) giving the calculated half-life of the isotope based on the measurement qq. Then, we will find h′(0.9)h'(0.9). Finally, the equation ∣Δh∣=h′(0.9)⋅0.05\left|\Delta h\right|=h'(0.9)\cdot0.05 will tell us the change in hh that corresponds with a change of 0.05 in our measurement.

Let us find the half-life of the isotope, if after three years qq μ\mug is remaining. The amount of the isotope present after tt years is given by

Q(t)=Q(0)e−ktfor some constant k. Let’s take t=0 to be the time when precisely one μg was present. ThenQ(t)=e−ktAfter three years, q is the amount of the isotope remaining, soq=e−k⋅3q13=e−kQ(t)=(e−k)t=qt3The half-life is the value of t for which Q(t)=12Q(0)=12.12=Q(t)=qt3log⁡(12)=log⁡(qt3)−log⁡2=t3log⁡qt=−3log⁡2log⁡q\begin{aligned} Q(t)&=Q(0)e^{-kt} \\ \text{for some constant $k$. Let's take $t=0$ to be the time when precisely one $\mu$g was present. Then} \\ Q(t)&=e^{-kt} \\ \text{After three years, $q$ is the amount of the isotope remaining, so} \\ q&=e^{-k\cdot 3}\\ q^{\frac{1}{3}}&=e^{-k}\\ Q(t)&=\left(e^{-k}\right)^t=q^{\frac{t}{3}} \\ \text{The half-life is the value of $t$ for which $Q(t)=\frac{1}{2}Q(0)=\frac{1}{2}$.} \\ \frac{1}{2}&=Q(t)=q^{\frac{t}{3}}\\ \log\left(\frac{1}{2}\right)&=\log\left(q^{\frac{t}{3}}\right)\\ -\log 2 &=\frac{t}{3}\log q\\ t&=\frac{-3\log 2}{\log q} \end{aligned}

So, we calculate the half-life to be −3log⁡2log⁡q\dfrac{-3\log 2}{\log q}. This gives us our first goal: a function h(q)h(q) that tells us the calculated half-life of the element.

h(q)=−3log⁡2log⁡qFollowing our plan, we find h′(0.9).h′(q)=ddq{−3log⁡2log⁡q}=−3log⁡2⋅ddq{(log⁡q)−1}=−3log⁡2⋅(−1)(log⁡q)−2⋅1q=3log⁡2qlog⁡2qh′(0.9)=3log⁡20.9log⁡2(0.9)≈208Finally, as outlined in our plan, ∣Δh∣=h′(0.9)⋅0.05=3log⁡218log⁡2(0.9)≈10.4\begin{aligned}h(q)&=\dfrac{-3\log2}{\log q} \\ \text{Following our plan, we find $h'(0.9)$.} \\ h'(q)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\left\{\dfrac{-3\log2}{\log q}\right\}\\ &=-3\log 2\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\left\{\left(\log q\right)^{-1}\right\}\\ &=-3\log 2\cdot(-1)\left(\log q\right)^{-2}\cdot\frac{1}{q}\\ &=\frac{3\log 2}{q\log^2q}\\ h'(0.9)&=\frac{3\log2}{0.9\log^2(0.9)}\approx 208 \\ \text{Finally, as outlined in our plan, } \\ \left|\Delta h\right|&=h'(0.9)\cdot0.05\\ &=\frac{3\log2}{18\log^2(0.9)}\approx 10.4 \end{aligned}

If our measurement changes by ±0.05\pm 0.05 μ\mug, then we estimate our calculated half-life changes by about ±\pm10.4 years. Since our measurement is accurate to within 0.050.05 μ\mug, that means we estimate our calculated half-life to be accurate to within about 10.4 years.

Remark: since h(0.9)=−3log⁡2log⁡0.9≈19.7h(0.9)=\dfrac{-3\log 2}{\log 0.9} \approx 19.7, an absolute error of 10.4 years corresponds to a percentage error of 10010.419.7≈53%100\dfrac{10.4}{19.7}\approx 53\%. The question did not specify absolute or percentage error. Since both make sense, you can use either one.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 4번우리말 번역

농장에 원형 우리를 짓고 있다. 우리의 넓이는 오차 2% 이내로 A0A_0 제곱미터여야 한다. 반지름에서 허용되는 최대 백분율 오차를 어림하세요.

답 쓰고 채점
%
다 풀었으면 정답 확인

반지름이 rr 인 우리의 넓이를 AA 라 하자. 그러면

A(r)=πr2r에 대해 미분하면,A′(r)=2πr원하는 정확한 넓이는 A0 이다. 이에 대응하는 원하는 정확한 반지름을 r0 이라 하자.선형 근사식을 이용한다. 여기서 ΔA 는 r 이 Δr 만큼 변할 때 대응하는 A 의 변화량이다.ΔA≈A′(r0)Δr=2πr0ΔrΔr≈ΔA2πr0우리가 알고 싶은 것은 r 이 가질 수 있는 백분율 오차이다. 백분율 오차는 다음과 같다.100Δrr0≈100ΔA2πr0⋅r0=100ΔA2(πr02)=100ΔA2⋅A0=(100ΔAA0)12≤(2)12=1\begin{aligned} A(r)&=\pi r^2 \\ \text{$r$에 대해 미분하면,} \\ A'(r)&=2\pi r \\ \text{원하는 정확한 넓이는 $A_0$ 이다. 이에 대응하는 원하는 정확한 반지름을 $r_0$ 이라 하자.} \\ \\ \text{선형 근사식을 이용한다. 여기서 $\Delta A$ 는 $r$ 이 $\Delta r$ 만큼 변할 때 대응하는 $A$ 의 변화량이다.} \\ \Delta A &\approx A'(r_0)\Delta r = 2\pi r_0 \Delta r\\ \Delta r &\approx \dfrac{\Delta A}{2\pi r_0} \\ \text{우리가 알고 싶은 것은 $r$ 이 가질 수 있는 백분율 오차이다. 백분율 오차는 다음과 같다.} \\ 100\frac{\Delta r}{r_0}&\approx100\frac{\Delta A}{2\pi r_0\cdot r_0}\\ &=100\frac{\Delta A}{2(\pi r_0^2)}\\ &=100\frac{\Delta A}{2\cdot A_0}\\ &=\left( 100\frac{\Delta A}{A_0}\right)\frac{1}{2}\\ &\leq\left( 2\right)\frac{1}{2}=1 \end{aligned}

(마지막 줄을 얻기 위해, 넓이의 백분율 오차 100ΔAA0100\dfrac{\Delta A}{A_0} 가 2%보다 작아야 한다는 주어진 정보를 이용했다.)

따라서 rr 의 오차는 1%를 넘을 수 없다고 결론짓는다.

이 문제로 이어서 풀기
# 테일러 다항식과 오차계산도전자동 분류

「테일러 다항식과 오차」 문제 목록으로