테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 1번

CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

$f(x)$ 가 함수이고 이를 $F(x)$ 로 근사했다고 하자. 또한 $f(10)=-3$ 이고 근삿값은 $F(10)=5$ 라고 하자. $R(x)=f(x)-F(x)$ 라 하자.

(a) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 7$ (b) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 8$ (c) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 9$ (d) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 100$

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function that we approximated by $F(x)$ . Further, suppose $f(10)=-3$ , while our approximation was $F(10)=5$ . Let $R(x)=f(x)-F(x)$ .

(a) True or false: $|R(10)| \leq 7$ (b) True or false: $|R(10)| \leq 8$ (c) True or false: $|R(10)| \leq 9$ (d) True or false: $|R(10)| \leq 100$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

정답·풀이 보기

주어진 정보에서 $|R(10)|=|f(10)-F(10)|=|-3-5|=|-8|=8$ 이므로 (a)는 거짓이고(8은 7보다 작거나 같지 않으므로), (b), (c), (d)는 참이다.

참고: $R(x)$ 는 근사에서 생기는 오차이다. 본문에서 언급했듯이 $R$ 을 정확히 아는 경우는 거의 없지만, 그 한계(상한)는 제시할 수 있다. 가장 정밀한 한계가 필요한 것은 아니며, 계산하기 쉬운 적당한 한계면 충분하다. 실제 함수와 근사를 다룬다면 $|R(10)|=8$ 임은 모를 수도 있지만, 그것이 많아야 9라는 것을 안다면 꽤 괜찮은 근사이다.

이 절에서는 계산하기 쉬운 한계를 얻기 위해 단순화하는 가정을 자주 하게 된다. 하지만 지나치게 하지는 말아야 한다. 절대오차가 많아야 100이라는 말은 참이지만, 이 진술은 한계로서는 별로 도움이 되지 않을 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

From the given information, $|R(10)|=|f(10)-F(10)|=|-3-5|=|-8|=8$ So, (a) is false (since 8 is not less than or equal to 7), while (b), (c), and (d) are true.

Remark: $R(x)$ is the error in our approximation. As mentioned in the text, we almost never know $R$ exactly, but we can give a bound. We don't need the tightest bound–just a reasonable one that is easy to calculate. If we were dealing with real functions and approximations, we might not know that $|R(10)|=8$ , but if we knew it was at most 9, that would be a pretty decent approximation.

Often in this section, we will make simplifying assumptions to get a bound that is easy to calculate. But, don't go overboard! It is a true statement to say that our absolute error is at most 100, but this statement would probably not be very helpful as a bound.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 3번우리말 번역

$f(x)= 5x^3-24x^2+ex-\pi^4$ 이라 하고, $T_5(x)$ 를 $x=1$ 에서 $f(x)$ 의 5차 테일러 다항식이라 하자. 오차 $|f(37)-T(37)|$ 에 대해 구할 수 있는 가장 좋은 한계를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

다항식을 그보다 차수가 크거나 같은 테일러 다항식으로 근사하면, 그 테일러 다항식은 근사하려는 함수와 완전히 같다. 따라서 오차는 0이다.

이 문제로 이어서 풀기

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