테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 3번

CLP-1 · 3.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

$f(x)= 5x^3-24x^2+ex-\pi^4$ 이라 하고, $T_5(x)$ 를 $x=1$ 에서 $f(x)$ 의 5차 테일러 다항식이라 하자. 오차 $|f(37)-T(37)|$ 에 대해 구할 수 있는 가장 좋은 한계를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)= 5x^3-24x^2+ex-\pi^4$ , and let $T_5(x)$ be the fifth order Taylor polynomial for $f(x)$ about $x=1$ . Give the best bound you can on the error $|f(37)-T(37)|$ .

정답·풀이 보기

다항식을 그보다 차수가 크거나 같은 테일러 다항식으로 근사하면, 그 테일러 다항식은 근사하려는 함수와 완전히 같다. 따라서 오차는 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

Whenever you approximate a polynomial with a Taylor polynomial of greater or equal degree, your Taylor polynomial is exactly the same as the function you are approximating. So, the error is zero.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 4번우리말 번역

당신과 친구는 둘 다 $\sin(33)$ 의 값을 어림하려고 합니다. 친구는 $f(x)=\sin x$ 의 1차 매클로린 다항식을 사용하고, 당신은 $f(x)=\sin x$ 의 0차(상수) 매클로린 다항식을 사용합니다. 당신과 친구 중 누가 더 좋은 근삿값을 얻나요?

다 풀었으면 정답 확인

상수 근사는 다음을 준다.

$\begin{aligned} \sin(33)&\approx \sin (0)=0 \\ \text{반면 일차 근사는 다음을 준다.} \\ f(x)&\approx f(0)+f'(0)x\\ \sin(x)& \approx \sin (0)+\cos(0) x\\&= x\\ \sin(33)&\approx 33 \end{aligned}$

$-1 \leq \sin(33)\leq 1$ 이므로 상수 근사가 더 좋다. (하지만 둘 다 조금 엉뚱하다.)

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# 테일러 다항식과 오차계산기본자동 분류