테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 11번

CLP-1 · 3.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

$f(x)=\log(x)$ 라 하고, $T_n(x)$ 를 $x=1$ 에서 $f(x)$ 의 $n$ 차 테일러 다항식이라 하자. $T_n(1.1)$ 을 사용하여 $\log (1.1)$ 을 어림한다. 어림값의 오차가 $10^{-4}$ 이하가 되어야 한다면, 사용할 수 있는 $n$ 의 값은 무엇입니까?

영어 원문 보기

Let $f(x)=\log(x)$ , and let $T_n(x)$ be the $n$ th order Taylor polynomial for $f(x)$ about $x=1$ . You use $T_n(1.1)$ to estimate $\log (1.1)$ . If your estimation needs to have an error of no more than $10^{-4}$ , what is an acceptable value of $n$ to use?

정답·풀이 보기

오차는 어떤 상수 $c$ 에 대해 $\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-1)^{n+1}$ 의 꼴이므로, $f^{(n)}(x)$ 에 대한 식을 구해 보자. 이는 교재에서 이미 다룬 적이 있지만 여기서 다시 해 보자. 도함수를 여러 번 구한 다음 규칙을 찾는다.

$\begin{aligned} f(x)&=\log x\\ f'(x)&=x^{-1}\\ f''(x)&=-x^{-2}\\ f'''(x)&=2!\,x^{-3}\\ f^{(4)}(x)&=-3!\,x^{-4}\\ f^{(5)}(x)&=4!\,x^{-5} \\ \text{따라서 $n \geq 1$ 일 때,} \\ f^{(n)}(x)&=(-1)^{n-1}(n-1)!\cdot x^{-n} \end{aligned}$

이제 $f(x)$ 의 도함수를 알았으므로, 어림값의 오차가 어떤 모양인지 더 잘 알 수 있다.

$\begin{aligned} \left|f(1.1)-T_n(1.1)\right|&=\left|\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(1.1-1)^{n+1}\right|\\ &=\left|f^{(n+1)}(c)\right|\frac{0.1^{n+1}}{(n+1)!}\\ &=\left|\frac{n!}{c^{n+1}} \right|\frac{1}{10^{n+1}(n+1)!}\\ &=\frac{1}{ |c|^{n+1}\cdot10^{n+1}\cdot(n+1)} \\ \text{$(1,1.1)$ 안의 어떤 $c$ 에 대해} \\ &<\frac{1}{(n+1)10^{n+1}\cdot 1^{n+1}}\\ &=\frac{1}{(n+1)10^{n+1}} \\ \text{지금까지 보인 것은 다음과 같다.} \\ |f(1.1)-T_n(1.1)|&<\dfrac{1}{(n+1)10^{n+1}} \\ \text{$\dfrac{1}{(n+1)10^{n+1}}\le10^{-4}$ 임을 보일 수 있다면, 다음을 결론지을 수 있다.} \\ |f(1.1)-T_n(1.1)|&<\dfrac{1}{(n+1)10^{n+1}}\le10^{-4} \end{aligned}$

즉, 오차가 $10^{-4}$ 보다 작다.

따라서 이 문제의 목표는 $\dfrac{1}{(n+1)10^{n+1}}\le10^{-4}$ 이 되게 하는 $n$ 의 값을 찾는 것이다. $n=3$ 은 분명히 그러한 수이다. 그러므로 3 이상인 모든 $n$ 은 사용할 수 있는 값이다.

원본 교재 풀이(영어)

Our error will have the form $\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-1)^{n+1}$ for some constant $c$ , so let's find an equation for $f^{(n)}(x)$ . This has been done before in the text, but we'll do it again here: we'll take several derivatives, then notice the pattern.

$\begin{aligned} f(x)&=\log x\\ f'(x)&=x^{-1}\\ f''(x)&=-x^{-2}\\ f'''(x)&=2!\,x^{-3}\\ f^{(4)}(x)&=-3!\,x^{-4}\\ f^{(5)}(x)&=4!\,x^{-5} \\ \text{So, when $n \geq 1$,} \\ f^{(n)}(x)&=(-1)^{n-1}(n-1)!\cdot x^{-n} \end{aligned}$

Now that we know the derivative of $f(x)$ , we have a better idea what the error in our approximation looks like.

$\begin{aligned} \left|f(1.1)-T_n(1.1)\right|&=\left|\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(1.1-1)^{n+1}\right|\\ &=\left|f^{(n+1)}(c)\right|\frac{0.1^{n+1}}{(n+1)!}\\ &=\left|\frac{n!}{c^{n+1}} \right|\frac{1}{10^{n+1}(n+1)!}\\ &=\frac{1}{ |c|^{n+1}\cdot10^{n+1}\cdot(n+1)} \\ \text{for some $c$ in $(1,1.1)$} \\ &<\frac{1}{(n+1)10^{n+1}\cdot 1^{n+1}}\\ &=\frac{1}{(n+1)10^{n+1}} \\ \text{What we've shown so far is } \\ |f(1.1)-T_n(1.1)|&<\dfrac{1}{(n+1)10^{n+1}} \\ \text{If we can show that $\dfrac{1}{(n+1)10^{n+1}}\le10^{-4}$, then we'll be able to conclude} \\ |f(1.1)-T_n(1.1)|&<\dfrac{1}{(n+1)10^{n+1}}\le10^{-4} \end{aligned}$

That is, our error is less than $10^{-4}$ .

So, our goal for the problem is to find a value of $n$ that makes $\dfrac{1}{(n+1)10^{n+1}}\le10^{-4}$ . Certainly, $n=3$ is such a number. Therefore, any $n$ greater than or equal to 3 is an acceptable value.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 1번우리말 번역

$f(x)$ 가 함수이고 이를 $F(x)$ 로 근사했다고 하자. 또한 $f(10)=-3$ 이고 근삿값은 $F(10)=5$ 라고 하자. $R(x)=f(x)-F(x)$ 라 하자.

(a) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 7$ (b) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 8$ (c) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 9$ (d) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 100$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

다 풀었으면 정답 확인

주어진 정보에서 $|R(10)|=|f(10)-F(10)|=|-3-5|=|-8|=8$ 이므로 (a)는 거짓이고(8은 7보다 작거나 같지 않으므로), (b), (c), (d)는 참이다.

참고: $R(x)$ 는 근사에서 생기는 오차이다. 본문에서 언급했듯이 $R$ 을 정확히 아는 경우는 거의 없지만, 그 한계(상한)는 제시할 수 있다. 가장 정밀한 한계가 필요한 것은 아니며, 계산하기 쉬운 적당한 한계면 충분하다. 실제 함수와 근사를 다룬다면 $|R(10)|=8$ 임은 모를 수도 있지만, 그것이 많아야 9라는 것을 안다면 꽤 괜찮은 근사이다.

이 절에서는 계산하기 쉬운 한계를 얻기 위해 단순화하는 가정을 자주 하게 된다. 하지만 지나치게 하지는 말아야 한다. 절대오차가 많아야 100이라는 말은 참이지만, 이 진술은 한계로서는 별로 도움이 되지 않을 것이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차계산도전자동 분류