함수의 그래프 그리기 연습문제 — CLP-1 · 3.6절 · 2번

CLP-1 · 3.6절 · 2번우리말 번역

함수 $f(x)$ , $g(x)$ , $h(x)$ , $k(x)$ 를 곡선 $y=A(x)$ 부터 $y=D(x)$ 까지와 짝지으세요.

$f(x)=\sqrt{x^2+1}$ $g(x)=\sqrt{x^2-1}$ $h(x)=\sqrt{x^2+4}$ $k(x)=\sqrt{x^2-4}$

영어 원문 보기

Match the functions $f(x)$ , $g(x)$ , $h(x)$ , and $k(x)$ to the curves $y=A(x)$ through $y=D(x)$ .

$f(x)=\sqrt{x^2+1}$ $g(x)=\sqrt{x^2-1}$ $h(x)=\sqrt{x^2+4}$ $k(x)=\sqrt{x^2-4}$

정답·풀이 보기

$x^2+1$ 과 $x^2+4$ 는 항상 양수이므로 $f(x)$ 와 $h(x)$ 는 모든 실수에서 정의된다. 따라서 $f(x)$ 와 $h(x)$ 는 $A(x)$ 와 $B(x)$ 에 대응한다. 어느 것이 어느 것일까? $A(0)=1=f(0)$ 이고 $B(0)=2=h(0)$ 이므로 $A(x)=f(x)$ 이고 $B(x)=h(x)$ 이다.

그러면 $g(x)$ 와 $k(x)$ 가 $C(x)$ 와 $D(x)$ 에 대응한다. $g(x)$ 의 정의역은 $x^2-1\ge0$ 인 모든 $x$ 이다. 즉 $|x|\ge1$ 이며, $C(x)$ 와 같다. $k(x)$ 의 정의역은 $x^2-4\ge0$ 인 모든 $x$ 이다. 즉 $|x|\ge2$ 이며, $D(x)$ 와 같다. 따라서 $C(x)=g(x)$ 이고 $D(x)=k(x)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $x^2+1$ and $x^2+4$ are always positive, $f(x)$ and $h(x)$ are defined over all real numbers. So, $f(x)$ and $h(x)$ correspond to $A(x)$ and $B(x)$ . Which is which? $A(0)=1=f(0)$ while $B(0)=2=h(0)$ , so $A(x)=f(x)$ and $B(x)=h(x)$ .

That leaves $g(x)$ and $k(x)$ matching to $C(x)$ and $D(x)$ . The domain of $g(x)$ is all $x$ such that $x^2-1\ge0$ . That is, $|x|\ge1$ , like $C(x)$ . The domain of $k(x)$ is all $x$ such that $x^2-4\ge0$ . That is, $|x|\ge2$ , like $D(x)$ . So, $C(x)=g(x)$ and $D(x)=k(x)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.6절 · 3번우리말 번역

아래는 다음 함수의 그래프이다. $y=f(x)=\sqrt{\log^2(x+p)}$

(a) $p$ 의 값을 구하세요. (b) 그래프에 표시된 $b$ 의 값을 구하세요. (c) $f(x)$ 의 $x$ 절편을 구하세요.

$\log(x+p)$ 는 $x+p$ 의 자연로그, 즉 $\log_e(x+p)$ 임을 기억하세요.

답 쓰고 채점

(a)

(b)

다 풀었으면 정답 확인

(a) $f(0)=2$ 이므로 다음을 푼다.

$\begin{aligned} 2&=\sqrt{\log^2(0+p)}\\ &=\sqrt{\log^2 p}\\ &=\left|\log p\right|\\ \log p &= \pm 2\\ p&=e^{\pm 2}\\ p&=e^2 \text{ 또는 } p=\frac{1}{e^2} \end{aligned}$

$p$ 는 $e^2$ 또는 $\dfrac{1}{e^2}$ 임을 알 수 있지만, 둘 중 하나를 정해야 한다. 두 경우 모두 $f(0)=2$ 이다. $f(x)$ 의 정의역을 생각해 보자. $\log^2(x+p)$ 는 음수가 아니므로 제곱근은 정의역을 제한하지 않는다. 그러나 로그는 양수에 대해서만 취할 수 있다. 따라서 정의역은 다음과 같다.

$\begin{aligned} x \text{ 의 조건: } &x+p>0\\ x \text{ 의 조건: } &x>-p\\ \end{aligned}$

$p=\dfrac{1}{e^2}$ 이면 $f(x)$ 의 정의역은 $\left(-\dfrac{1}{e^2},\infty\right)$ 이다. 특히 $-\dfrac{1}{e^2}>-1$ 이므로 $f(x)$ 의 정의역은 $x=-1$ 을 포함하지 않는다. 그런데 그래프에서 $f(-1)$ 이 존재함이 분명하다. 따라서 $p=e^2$ 이다.

(b) 이제 $b$ 가 무엇인지 알아내야 한다. $b$ 는 $f(x)$ 의 정의역의 끝이고, 정의역은 이미 구했듯이 $(-p,\infty)$ 이다. 따라서 $b=-p=-e^2$ 이다.

(간단한 확인: $e\approx 2.7$ 로 놓으면 $-e^2=-7.29$ 이고, 이는 그래프와 대체로 맞아 보인다.)

$\begin{aligned} 0&=\sqrt{\log^2(x+p)}\\ 0&=\log(x+p)\\ 1&=x+p\\ x&=1-p=1-e^2 \end{aligned}$

$x$ 절편은 $1-e^2$ 이다.

(또 다른 간단한 확인: 구한 $x$ 절편은 수직 점근선에서 거리가 1만큼 떨어져 있고, 이는 그래프와 대체로 맞아 보인다.)

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 그래프 그리기그래프·표 해석보통자동 분류