함수의 그래프 그리기 연습문제 — CLP-1 · 3.6절 · 3번

CLP-1 · 3.6절 · 3번우리말 번역

아래는 다음 함수의 그래프이다. $y=f(x)=\sqrt{\log^2(x+p)}$

(a) $p$ 의 값을 구하세요. (b) 그래프에 표시된 $b$ 의 값을 구하세요. (c) $f(x)$ 의 $x$ 절편을 구하세요.

$\log(x+p)$ 는 $x+p$ 의 자연로그, 즉 $\log_e(x+p)$ 임을 기억하세요.

영어 원문 보기

Below is the graph of $y=f(x)=\sqrt{\log^2(x+p)}$

(a) What is $p$ ? (b) What is $b$ (marked on the graph)? (c) What is the $x$ -intercept of $f(x)$ ?

Remember $\log(x+p)$ is the natural logarithm of $x+p$ , $\log_e(x+p)$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $f(0)=2$ 이므로 다음을 푼다.

$\begin{aligned} 2&=\sqrt{\log^2(0+p)}\\ &=\sqrt{\log^2 p}\\ &=\left|\log p\right|\\ \log p &= \pm 2\\ p&=e^{\pm 2}\\ p&=e^2 \text{ 또는 } p=\frac{1}{e^2} \end{aligned}$

$p$ 는 $e^2$ 또는 $\dfrac{1}{e^2}$ 임을 알 수 있지만, 둘 중 하나를 정해야 한다. 두 경우 모두 $f(0)=2$ 이다. $f(x)$ 의 정의역을 생각해 보자. $\log^2(x+p)$ 는 음수가 아니므로 제곱근은 정의역을 제한하지 않는다. 그러나 로그는 양수에 대해서만 취할 수 있다. 따라서 정의역은 다음과 같다.

$\begin{aligned} x \text{ 의 조건: } &x+p>0\\ x \text{ 의 조건: } &x>-p\\ \end{aligned}$

$p=\dfrac{1}{e^2}$ 이면 $f(x)$ 의 정의역은 $\left(-\dfrac{1}{e^2},\infty\right)$ 이다. 특히 $-\dfrac{1}{e^2}>-1$ 이므로 $f(x)$ 의 정의역은 $x=-1$ 을 포함하지 않는다. 그런데 그래프에서 $f(-1)$ 이 존재함이 분명하다. 따라서 $p=e^2$ 이다.

(b) 이제 $b$ 가 무엇인지 알아내야 한다. $b$ 는 $f(x)$ 의 정의역의 끝이고, 정의역은 이미 구했듯이 $(-p,\infty)$ 이다. 따라서 $b=-p=-e^2$ 이다.

(간단한 확인: $e\approx 2.7$ 로 놓으면 $-e^2=-7.29$ 이고, 이는 그래프와 대체로 맞아 보인다.)

$\begin{aligned} 0&=\sqrt{\log^2(x+p)}\\ 0&=\log(x+p)\\ 1&=x+p\\ x&=1-p=1-e^2 \end{aligned}$

$x$ 절편은 $1-e^2$ 이다.

(또 다른 간단한 확인: 구한 $x$ 절편은 수직 점근선에서 거리가 1만큼 떨어져 있고, 이는 그래프와 대체로 맞아 보인다.)

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $f(0)=2$ , we solve

$\begin{aligned} 2&=\sqrt{\log^2(0+p)}\\ &=\sqrt{\log^2 p}\\ &=\left|\log p\right|\\ \log p &= \pm 2\\ p&=e^{\pm 2}\\ p&=e^2 \text{ or } p=\frac{1}{e^2} \end{aligned}$

We know that $p$ is $e^2$ or $\dfrac{1}{e^2}$ , but we have to decide between the two. In both cases, $f(0)=2$ . Let's consider the domain of $f(x)$ . Since $\log^2(x+p)$ is never negative, the square root does not restrict our domain. However, we can only take the logarithm of positive numbers. Therefore, the domain is

$\begin{aligned} x \text{ such that } &x+p>0\\ x \text{ such that } &x>-p\\ \end{aligned}$

If $p=\dfrac{1}{e^2}$ , then the domain of $f(x)$ is $\left(-\dfrac{1}{e^2},\infty\right)$ . In particular, since $-\dfrac{1}{e^2}>-1$ , the domain of $f(x)$ does not include $x=-1$ . However, it is clear from the graph that $f(-1)$ exists. So, $p=e^2$ .

(b) Now, we need to figure out what $b$ is. Notice that $b$ is the end of the domain of $f(x)$ , which we already found to be $(-p,\infty)$ . So, $b=-p=-e^2$ .

(As a quick check, if we take $e\approx 2.7$ , then $-e^2=-7.29$ , and this looks about right on the graph.)

$\begin{aligned} 0&=\sqrt{\log^2(x+p)}\\ 0&=\log(x+p)\\ 1&=x+p\\ x&=1-p=1-e^2 \end{aligned}$

The $x$ -intercept is $1-e^2$ .

(As another quick check, the $x$ -intercept we found is a distance of 1 from the vertical asymptote, and this looks about right on the graph.)

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.6절 · 1번우리말 번역

함수 $f(x)$ 가 다음과 같이 주어졌다고 하자. $f(x)= \frac{g(x)}{x^2-9}$ 여기서 $g(x)$ 도 함수이다. 참 또는 거짓: $f(x)$ 는 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는다.

다 풀었으면 정답 확인

일반적으로 이것은 거짓이다. 예를 들어 함수 $f(x) = \dfrac{x^2-9}{x^2-9}$ 은 정의역의 모든 점에서 1 과 같으므로(그리고 $x=\pm3$ 일 때는 정의되지 않으므로) 수직 점근선이 없다.

그러나 $f(x)$ 가 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는 것은 분명히 가능하다. 예를 들어 $f(x)=\dfrac{1}{x^2-9}$ 은 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는다. 더 일반적으로, $g(x)$ 가 연속이고 $g(-3)\ne 0$ 이면 $f(x)$ 는 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 그래프 그리기그래프·표 해석보통자동 분류