함수의 그래프 그리기 연습문제 — CLP-1 · 3.6절 · 5번

CLP-1 · 3.6절 · 5번우리말 번역

$f(x)=10^{3x-7}$ 의 모든 점근선을 구하세요.

영어 원문 보기

Find all asymptotes of $f(x)=10^{3x-7}$ .

정답·풀이 보기

$f(x)$ 는 모든 실수에서 연속이므로 수직 점근선은 없다.

수평 점근선을 구하기 위해 $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}f(x)$ 의 값을 구한다.

$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty}10^{3x-7}&=\underbrace{\lim_{X \to \infty}10^X}_{\text{치환 }X=3x-7}=\infty \\ \text{따라서 $x \to \infty$ 일 때 수평 점근선은 없다.} \\ \lim_{x \to -\infty}10^{3x-7}&=\underbrace{\lim_{X \to -\infty}10^{X}}_{\text{치환 }X=3x-7}\\ &=\underbrace{\lim_{X' \to \infty}10^{-X'}}_{\text{치환 }X'=-X}\\ &=\lim_{X' \to \infty}\frac{1}{10^{X'}}\\ &=0 \end{aligned}$

즉, $y=0$ 은 $x \to -\infty$ 일 때의 수평 점근선이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ is continuous over all real numbers, it has no vertical asymptote.

To find the horizontal asymptotes, we evaluate $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}f(x)$ .

$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty}10^{3x-7}&=\underbrace{\lim_{X \to \infty}10^X}_{\text{let }X=3x-7}=\infty \\ \text{So, there's no horizontal asymptote as $x \to \infty$.} \\ \lim_{x \to -\infty}10^{3x-7}&=\underbrace{\lim_{X \to -\infty}10^{X}}_{\text{let }X=3x-7}\\ &=\underbrace{\lim_{X' \to \infty}10^{-X'}}_{\text{let }X'=-X}\\ &=\lim_{X' \to \infty}\frac{1}{10^{X'}}\\ &=0 \end{aligned}$

That is, $y=0$ is a horizontal asymptote as $x \to -\infty$ .

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.5절 · 30번

다음 문제에서 a. $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록한 구간, b. $f$ 의 변곡점을 구하세요.

$f(x)=x^3-4x^2+x+2$

다 풀었으면 정답 확인

a. $x>\frac43$ 에서 아래로 볼록, $x<\frac43$ 에서 위로 볼록 b. 변곡점 $x=\frac43$ , 즉 $\left(\frac43,-\frac{38}{27}\right)$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

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