함수의 증가와 감소 연습문제 — CLP-1 · 3.6절 · 1번

CLP-1 · 3.6절 · 1번우리말 번역

아래에 그래프로 주어진 각 함수에 해당하는 도함수를 목록에서 찾아 짝지으세요. (예를 들어, 목록의 어떤 함수가 $A'(x)$ 에 해당하는지 찾으세요.)

곡선의 변화 양상이 잘 드러나도록 $y$ 축의 눈금을 조정했으므로, 그래프마다 세로 눈금이 다릅니다.

$l(x)=(x-2)^4$

$m(x)=(x-2)^4(x+2)$

$n(x)=(x-2)^2(x+2)^2$

$o(x)=(x-2)(x+2)^3$

$p(x)=(x+2)^4$

영어 원문 보기

Match each function graphed below to its derivative from the list. (For example, which function on the list corresponds to $A'(x)$ ?)

The $y$ -axes have been scaled to make the curve's behaviour clear, so the vertical scales differ from graph to graph.

$l(x)=(x-2)^4$

$m(x)=(x-2)^4(x+2)$

$n(x)=(x-2)^2(x+2)^2$

$o(x)=(x-2)(x+2)^3$

$p(x)=(x+2)^4$

정답·풀이 보기

함수 $A(x)$ 와 $B(x)$ 는 다른 함수들과 구별되는 공통점이 있다. 접선이 수평인 점이 한 번뿐이라는 것이다. 특히 $A'(-2) \neq 0$ 이고 $B'(2) \neq 0$ 이다. 목록에서 서로 다른 두 근을 갖지 않는 함수는 $l(x)$ 와 $p(x)$ 뿐이다. $l(-2) \neq 0$ 이고 $p(2) \neq 0$ 이므로 다음을 얻는다. $A'(x)=l(x) \qquad B'(x)=p(x)$

함수 $C(x)$ 는 감소하는 구간이 없다. $x = \pm 2$ 일 때 접선이 수평이지만 곡선은 결코 감소하지 않으므로, 모든 $x$ 에 대해 $C'(x) \geq 0$ 이고 $C'(2)=C'(-2)=0$ 이다. 이에 맞는 함수는 $n(x)=(x-2)^2(x+2)^2$ 뿐이다. 일차식 인수들의 거듭제곱이 짝수이므로 이 함수는 음수가 되지 않으며, 근은 정확히 $x=\pm 2$ 이다. $C'(x)=n(x)$

함수 $D(x)$ 와 $E(x)$ 는 $x=0$ 근처에서의 변화 양상을 살펴본다. $D(x)$ 는 $x=0$ 근처에서 감소하므로 $D'(0)<0$ 이고, 이는 $o(0)<0$ 과 일치한다. 반면 $E(x)$ 는 $0$ 근처에서 증가하므로 $E'(0)>0$ 이고, 이는 $m(0)>0$ 과 일치한다. $D'(x)=o(x)\qquad E'(x)=m(x)$

원본 교재 풀이(영어)

Functions $A(x)$ and $B(x)$ share something in common that sets them apart from the others: they have a horizontal tangent line only once. In particular, $A'(-2) \neq 0$ and $B'(2) \neq 0$ . The only listed functions that do not have two distinct roots are $l(x)$ and $p(x)$ . Since $l(-2) \neq 0$ and $p(2) \neq 0$ , we conclude $A'(x)=l(x) \qquad B'(x)=p(x)$

Function $C(x)$ is never decreasing. Its tangent line is horizontal when $x = \pm 2$ , but the curve never decreases, so $C'(x) \geq 0$ for all $x$ and $C'(2)=C'(-2)=0$ . The only function that matches this is $n(x)=(x-2)^2(x+2)^2$ . Since its linear terms have even powers, it is never negative, and its roots are precisely $x=\pm 2$ . $C'(x)=n(x)$

For the functions $D(x)$ and $E(x)$ we consider their behaviour near $x=0$ . $D(x)$ is decreasing near $x=0$ , so $D'(0)<0$ , which matches with $o(0)<0$ . Contrastingly, $E(x)$ is increasing near zero, so $E'(0)>0$ , which matches with $m(0)>0$ . $D'(x)=o(x)\qquad E'(x)=m(x)$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.6절 · 3번우리말 번역

함수 $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{2x+4}$ 가 증가하는 가장 큰 열린구간을 구하세요.

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음수의 제곱근은 취할 수 없으므로 $f(x)$ 는 $x \ge 1$ 일 때만 정의된다. 또한 분모가 0이 될 수 없으므로 $x=-2$ 는 정의역에 속하지 않지만, $x \ge 1$ 이기만 하면 $x \ne -2$ 도 성립한다. 따라서 이 함수의 정의역은 $[1,\infty)$ 이다.

$f(x)$ 가 증가하는 구간을 찾기 위해 $f'(x)$ 가 양수인 곳을 찾는다. $f'(x)=\frac{\frac{2x+4}{2\sqrt{x-1}}-2\sqrt{x-1}}{(2x+4)^2} =\frac{(x+2)-2(x-1)}{\sqrt{x-1}(2x+4)^2} =\frac{-x+4}{\sqrt{x-1}(2x+4)^2}$ 분모는 결코 음수가 아니므로 $f(x)$ 는 $f'(x)$ 의 분자가 양수일 때, 즉 $4-x>0$ 일 때, 다시 말해 $x<4$ 일 때 증가한다. $f(x)$ 의 정의역이 $[1,+\infty)$ 임을 떠올리면, $f(x)$ 는 열린구간 $(1,4)$ 에서 증가한다고 결론짓는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석기본자동 분류