함수의 증가와 감소 연습문제 — CLP-1 · 3.6절 · 4번

CLP-1 · 3.6절 · 4번우리말 번역

함수 $f(x)=2\arctan (x) - \log(1+x^2)$ 이 증가하는 가장 큰 열린구간을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the largest open interval on which $f(x)=2\arctan (x) - \log(1+x^2)$ is increasing.

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정답·풀이 보기

아크탄젠트의 정의역은 모든 실수이다. 로그 함수의 정의역은 모든 양수이고, $1+x^2$ 은 모든 $x$ 에 대해 양수이다. 따라서 $f(x)$ 의 정의역은 모든 실수이다.

$f(x)$ 가 증가하는 구간을 찾기 위해 $f'(x)$ 가 양수인 곳을 찾는다. $f'(x)= \frac 2 {1+x^2} - \frac{2x}{1+x^2} = \frac{2-2x}{1+x^2}$ 분모는 항상 양수이므로 $f(x)$ 는 $2-2x>0$ 일 때 증가한다. 따라서 $f(x)$ 는 열린구간 $(-\infty,1)$ 에서 증가한다고 결론짓는다.

원본 교재 풀이(영어)

The domain of arctangent is all real numbers. The domain of the logarithm function is all positive numbers, and $1+x^2$ is positive for all $x$ . So, the domain of $f(x)$ is all real numbers.

In order to find where $f(x)$ is increasing, we find where $f'(x)$ is positive. $f'(x)= \frac 2 {1+x^2} - \frac{2x}{1+x^2} = \frac{2-2x}{1+x^2}$ Since the denominator is always positive, $f(x)$ is increasing when when $2-2x>0$ . We conclude that $f(x)$ is increasing on the open interval $(-\infty,1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.5절 · 52번우리말 번역

경제가 속력을 내고 있다. 여기서 $f$ 는 국내총생산과 같은 경제 지표이다.

다 풀었으면 정답 확인

$f>0,{f}^{'}>0,{f}^{''}>0$

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 증가와 감소계산보통자동 분류