로피탈 정리

가장 먼저 눈에 띄는 것은, $k$ 의 값에 관계없이 $x=0$ 을 대입하면 분자와 분모가 모두 0이 된다는 점이다. 이 사실을 이용하여 로피탈의 정리를 적용하자.

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{e^{k\sin(x^2)}-(1+2x^2)}{x^4}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}} &=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2kx\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4x}{4x^3}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2} \\ \text{$x=0$ 을 대입하면 분모는 0이 되고 분자는 $2k-4$ 가 된다. 극한의 거동이 $k$ 에 따라 달라지므로 경우를 나누어야 한다.} \\ \\ \text{$k=2$ 일 때:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2}&= \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\dfrac{4\cos(x^2)e^{2\sin(x^2)}-4}{4x^2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to0}}\\ &= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{-8x\sin(x^2)e^{2\sin(x^2)} +16x\cos^2(x^2)e^{2\sin(x^2)}}{8x}\\ &= \lim_{x\rightarrow 0}\big[-\sin(x^2)e^{2\sin(x^2)} +2\cos^2(x^2)e^{2\sin(x^2)}\big]\\ &=2 \\ \text{$k>2$ 일 때, 분자는 양의 상수인 $2k-4$ 에 가까워지고 분모는 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지므로:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2}&= \infty \\ \text{$k<2$ 일 때, 분자는 음의 상수인 $2k-4$ 에 가까워지고 분모는 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지므로:} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2k\cos(x^2)e^{k\sin(x^2)}-4}{4x^2}&= -\infty \end{aligned}$$