로피탈 정리 연습문제 — CLP-1 · 3.7절 · 23번

CLP-1 · 3.7절 · 23번대학 수준우리말 번역

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{1+cx-\cos x}{ e^{x^2}-1}$ 이 존재하도록 하는 $c$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find $c$ so that $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{1+cx-\cos x}{ e^{x^2}-1}$ exists.

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분자와 분모는 모두 $x\rightarrow 0$ 일 때 $0$ 으로 수렴한다. 따라서 로피탈 정리에 의해 $\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{1+cx-\cos x}{ e^{x^2}-1}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to 0}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{c+\sin x}{ 2xe^{x^2}}$ 새로운 분모는 여전히 $x\rightarrow 0$ 일 때 $0$ 으로 수렴한다. 극한이 존재하려면 새로운 분자도 마찬가지여야 한다. 따라서 $c \neq 0$ 이면 극한이 존재하지 않는다. $c=0$ 일 때 극한이 존재하는지 확인해야 한다. 로피탈 정리를 이용하면 $\lim_{x \to 0}\underbrace{\frac{\sin x}{2xe^{x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to 0}}=\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{e^{x^2}(4x^2+2)}=\frac{1}{1(0+2)}=\frac{1}{2}.$ 따라서 $c=0$ 일 때 극한이 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

Both the numerator and denominator converge to $0$ as $x\rightarrow 0$ . So, by l'Hopital, $\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{1+cx-\cos x}{ e^{x^2}-1}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to 0}} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{c+\sin x}{ 2xe^{x^2}}$ The new denominator still converges to $0$ as $x\rightarrow 0$ . For the limit to exist, the same must be true for the new numerator. This tells us that if $c \neq 0$ , the limit does not exist. We should check whether the limit exists when $c=0$ . Using l'Hopital: $\lim_{x \to 0}\underbrace{\frac{\sin x}{2xe^{x^2}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to 0}}=\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{e^{x^2}(4x^2+2)}=\frac{1}{1(0+2)}=\frac{1}{2}.$ So, the limit exists when $c=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.7절 · 20번우리말 번역

$\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[x^2]{\cos x}$ 의 값을 구하세요.

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$\displaystyle \lim_{x \to 0} \cos x =1$ 이고 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}=\infty$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x \to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$ 은 $1^\infty$ 꼴의 부정형이다. 로피탈 정리를 쓰고 싶지만, 그러려면 함수를 분수 꼴의 부정형으로 바꿔야 한다. 그래서 로그를 사용한다.

$\begin{aligned} y:&=(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\\ \log y &= \log \left((\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\right)=\frac{1}{x^2}\log(\cos x)=\frac{\log \cos x}{x^2}\\ \lim_{x \to 0}\log y &=\lim_{x \to 0}\underbrace{\frac{\log \cos x}{x^2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\sin x}{\cos x}}{2x}= \lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{-\tan x}{2x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to0}{\mathrm{den}\to 0}} = \lim_{x \to 0}\frac{-\sec^2x}{2}\\ &=\lim_{x \to 0}\frac{-1}{2\cos^2 x}=-\frac{1}{2}\\ \text{따라서, } \lim_{x \to 0} y &=\lim_{x \to 0}e^{\log y}=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}} \end{aligned}$

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