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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분 기법

적분 전략 고르기

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 1.13절 · 6번대학 수준우리말 번역

∫12x2log⁡x dx\displaystyle\int_1^2 x^2\log x ~\mathrm{d}x 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ∫12x2log⁡x dx\displaystyle\int_1^2 x^2\log x ~\mathrm{d}x.

정답·풀이 보기

두 함수가 곱해져 있지만 서로 깔끔하게 간단해지지는 않는다. 그러나 로그를 미분하고 x2x^2 을 적분하면 다항식을 얻는다. 그러므로 부분적분을 사용하자.

u=log⁡x dv=x2dxu=\log x \, \mathrm{d}v=x^2\mathrm{d}x du=(1/x)dx v=x3/3\mathrm{d}u=(1/x)\mathrm{d}x \, v=x^3/3

먼저 부정적분을 구하자. 적분 구간의 위끝과 아래끝은 나중에 다룬다.

∫x2log⁡xdx=(log⁡x)⏟u(x3/3)⏟v)−∫(x3/3)⏟v(1/x)dx⏟du=13x3log⁡x−13∫x2dx=13x3log⁡x−13⋅13x3+C=13x3log⁡x−19x3+C 미적분학의 기본정리 2를 사용하여 정적분의 값을 구한다.∫12x3log⁡xdx=[13x3log⁡x−19x3]12=[1323log⁡2−1923]−[1313log⁡1−1913]=8log⁡23−89−0+19=83log⁡2−79\begin{aligned} \int x^2\log x \mathrm{d}x &=\underbrace{(\log x)}_{u}\underbrace{(x^3/3)}_{v})-\int\underbrace{(x^3/3)}_{v}\underbrace{(1/x)\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}\\ &=\frac{1}{3}x^3\log x - \frac{1}{3}\int x^2\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3}x^3\log x -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}x^3+C \\ &=\frac{1}{3}x^3\log x - \frac{1}{9}x^3+C \\ \text{ 미적분학의 기본정리 2를 사용하여 정적분의 값을 구한다.} \\ \int_1^2 x^3\log x \mathrm{d}x&= \left[\frac{1}{3}x^3\log x - \frac{1}{9}x^3\right]_1^2\\ &=\left[\frac{1}{3}2^3\log 2 - \frac{1}{9}2^3 \right] - \left[\frac{1}{3}1^3\log 1 - \frac{1}{9}1^3 \right]\\ &=\frac{8\log 2}{3}-\frac{8}{9}-0+\frac{1}{9}\\ &=\frac{8}{3}\log2-\frac{7}{9} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We see that we have two functions multiplied, but they don't simplify nicely with each other. However, if we differentiate logarithm, and integrate x2x^2, we'll get a polynomial. So, let's use integration by parts.

u=log⁡x dv=x2dxu=\log x \, \mathrm{d}v=x^2\mathrm{d}x du=(1/x)dx v=x3/3\mathrm{d}u=(1/x)\mathrm{d}x \, v=x^3/3

First, let's antidifferentiate. We'll deal with the limits of integration later.

∫x2log⁡xdx=(log⁡x)⏟u(x3/3)⏟v)−∫(x3/3)⏟v(1/x)dx⏟du=13x3log⁡x−13∫x2dx=13x3log⁡x−13⋅13x3+C=13x3log⁡x−19x3+C We use the Fundamental Theorem of Calculus Part 2 to evaluate the definite integral.∫12x3log⁡xdx=[13x3log⁡x−19x3]12=[1323log⁡2−1923]−[1313log⁡1−1913]=8log⁡23−89−0+19=83log⁡2−79\begin{aligned} \int x^2\log x \mathrm{d}x &=\underbrace{(\log x)}_{u}\underbrace{(x^3/3)}_{v})-\int\underbrace{(x^3/3)}_{v}\underbrace{(1/x)\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}\\ &=\frac{1}{3}x^3\log x - \frac{1}{3}\int x^2\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3}x^3\log x -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}x^3+C \\ &=\frac{1}{3}x^3\log x - \frac{1}{9}x^3+C \\ \text{ We use the Fundamental Theorem of Calculus Part 2 to evaluate the definite integral.} \\ \int_1^2 x^3\log x \mathrm{d}x&= \left[\frac{1}{3}x^3\log x - \frac{1}{9}x^3\right]_1^2\\ &=\left[\frac{1}{3}2^3\log 2 - \frac{1}{9}2^3 \right] - \left[\frac{1}{3}1^3\log 1 - \frac{1}{9}1^3 \right]\\ &=\frac{8\log 2}{3}-\frac{8}{9}-0+\frac{1}{9}\\ &=\frac{8}{3}\log2-\frac{7}{9} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.13절 · 27번우리말 번역

∫sin⁡xcos⁡xtan⁡x dx\displaystyle\int \sin x \cos x \tan x~\mathrm{d}x 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x =\frac{\sin x}{\cos x} 이므로,

∫sin⁡xcos⁡xtan⁡x dx=∫sin⁡2x dx=∫12(1−cos⁡(2x)) dx=12(x−12sin⁡(2x))+C=12(x−sin⁡xcos⁡x)+C\begin{aligned} \int \sin x \cos x \tan x~\mathrm{d}x&=\int \sin^2 x~\mathrm{d}x = \int \frac{1}{2}\big(1-\cos(2x) \big)~\mathrm{d}x\\ &=\frac12\left(x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right)+C \\&=\frac12\left(x -\sin x \cos x \right)+C \end{aligned}

이 문제로 이어서 풀기
# 적분 전략 고르기계산보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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