적분 전략 고르기 연습문제 — CLP-2 · 1.13절 · 27번

CLP-2 · 1.13절 · 27번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \sin x \cos x \tan x~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle\int \sin x \cos x \tan x~\mathrm{d}x$ .

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부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

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$\tan x =\frac{\sin x}{\cos x}$ 이므로,

$\begin{aligned} \int \sin x \cos x \tan x~\mathrm{d}x&=\int \sin^2 x~\mathrm{d}x = \int \frac{1}{2}\big(1-\cos(2x) \big)~\mathrm{d}x\\ &=\frac12\left(x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right)+C \\&=\frac12\left(x -\sin x \cos x \right)+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Since $\tan x =\frac{\sin x}{\cos x}$ ,

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.13절 · 37번우리말 번역

$\displaystyle\int\frac{xe^x}{(x+1)^2}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

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부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

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처음에는 치환 $u=x+1$ 이 괜찮아 보이지만, 쉽게 적분할 수 있는 꼴이 되지는 않는다. 적분하려는 함수가 유리함수가 아니므로 부분분수 분해는 쓸 수 없다. 삼각치환 계열의 문제로도 보이지 않는다. 그러므로 부분적분을 생각해 보자. 피적분함수를 두 부분으로 나누는 방법은 여러 가지가 있다. 예를 들어 $\Big(\frac{x}{(x+1)^2}\Big)\Big(e^x\Big)$ 으로 볼 수도 있고, $\Big(\frac{x}{x+1}\Big)\Big(\frac{e^x}{x+1}\Big)$ 으로 볼 수도 있다. 몇 차례 시행착오를 거쳐 $u=xe^x$ , $\mathrm{d}v=(x+1)^{-2}~\mathrm{d}x$ 로 정한다. 그러면 $\mathrm{d}u=e^x(x+1)$ 이고 $v=\frac{-1}{x+1}$ 이다.

$\begin{aligned} \int\frac{xe^x}{(x+1)^2}~\mathrm{d}x&=-\frac{xe^x}{x+1} +\int \frac{e^x(x+1)}{x+1}\mathrm{d}x \\&=-\frac{xe^x}{x+1} +\int e^x\mathrm{d}x\\ &=-\frac{xe^x}{x+1}+e^x+C \\&= \frac{e^x}{x+1}+C \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 적분 전략 고르기계산보통자동 분류