적분 전략 고르기 연습문제 — CLP-2 · 1.13절 · 18번

CLP-2 · 1.13절 · 18번대학 수준우리말 번역

(a) $\int\frac{x^2}{(x^3 + 1)^{101}}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요. (b) $\displaystyle\int \cos^3\!x\ \sin^4\!x\ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Evaluate $\int\frac{x^2}{(x^3 + 1)^{101}}\,\mathrm{d}x$ . (b) Evaluate $\displaystyle\int \cos^3\!x\ \sin^4\!x\ \mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

(a)

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

(b)

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

(a) $u=x^3+1$ , $\mathrm{d}u=3x^2\,\mathrm{d}x$ 로 치환하면

$\int\frac{x^2}{(x^3 + 1)^{101}}\mathrm{d}x =\int\frac{1}{u^{101}}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{3} =\frac{u^{-100}}{-100}\cdot\frac{1}{3}+C =-\frac{1}{300(x^3+1)^{100}} + C$

(b) $u=\sin x$ , $\mathrm{d}u=\cos x\ \mathrm{d}x$ , $\cos^2 x = 1-\sin^2 x = 1-u^2$ 으로 치환하면

$\begin{aligned} \int \cos^3\!x\ \sin^4\!x\ \mathrm{d}x &=\int \cos^2\!x\ \sin^4\!x\ \cos x\ \mathrm{d}x =\int (1-u^2) u^4\ \mathrm{d}u\\ &=\int (u^4-u^6)\ \mathrm{d}u =\frac{u^5}{5}-\frac{u^7}{7}+C \\ &=\frac{\sin^5\!x}{5}-\frac{\sin^7\!x}{7}+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Substituting $u=x^3+1$ , $\mathrm{d}u=3x^2\,\mathrm{d}x$

$\int\frac{x^2}{(x^3 + 1)^{101}}\mathrm{d}x =\int\frac{1}{u^{101}}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{3} =\frac{u^{-100}}{-100}\cdot\frac{1}{3}+C =-\frac{1}{300(x^3+1)^{100}} + C$

(b) Substituting $u=\sin x$ , $\mathrm{d}u=\cos x\ \mathrm{d}x$ , $\cos^2 x = 1-\sin^2 x = 1-u^2$ ,

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.13절 · 11번우리말 번역

다음 적분을 계산하세요.

(a) $\displaystyle\int_0^3\sqrt{9-x^2}\,\mathrm{d}x$ (b) $\displaystyle\int_0^1\log(1+x^2)\,\mathrm{d}x$ (c) $\displaystyle\int_3^\infty\frac{x}{(x-1)^2(x-2)}\,\mathrm{d}x$

다 풀었으면 정답 확인

(a) $\int_0^3\sqrt{9-x^2}\,\mathrm{d}x$ 는 원판 $x^2+y^2\le 9$ 중 제1사분면에 놓인 부분의 넓이이다. 그 값은 $\frac{1}{4}\pi 3^3={\frac{9}{4}\pi}\,$ 이다. 다른 방법으로, 치환 $x=3\sin y$ , $\mathrm{d}x=3\cos y\,\mathrm{d}y$ 를 사용하여 이 적분을 계산할 수도 있다.

$\begin{aligned} \int_0^3\sqrt{9-x^2}\,\mathrm{d}x &=\int_0^{\pi/2}\sqrt{9-9\sin^2y}\ (3\cos y)\,\mathrm{d}y =9\int_0^{\pi/2}\cos^2 y\,\mathrm{d}y \\ &=\frac{9}{2}\int_0^{\pi/2}[1+\cos(2y)]\,\mathrm{d}y =\frac{9}{2}{\Big[y+\frac{\sin(2y)}{2}\Big]}_0^{\pi/2} \\ &=\frac{9}{4}\pi \end{aligned}$

(b) 이 문제는 무엇을 해야 할지 바로 떠오르지는 않지만, $u=\log x$ , $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$ 로 놓고 부분적분을 이용하여 $\int \log x \mathrm{d}x$ 를 구했던 것을 떠올리자. 비슷한 방법이 여기서도 통하기를 기대해 보자. $u=\log(1+x^2)$ , $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$ 로 놓고 부분적분을 하면 $\mathrm{d}u=\frac{2x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$ , $v=x$ 이다.

$\begin{aligned} \int_0^1\log(1+x^2)\,\mathrm{d}x &=\Big[x\log(1+x^2)\Big]_0^1-\int_0^1 x\frac{2x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x =\log 2-2\int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2}\,\mathrm{d}x \\ &=\log 2-2\int_0^1\Big(1- \frac{1}{1+x^2}\Big)\,\mathrm{d}x =\log 2-2\big[x-\arctan x\big]_0^1 \\ &=\log 2-2+\frac{\pi}{2}\approx 0.264 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{x}{(x-1)^2(x-2)} &=\frac{a}{(x-1)^2}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x-2} =\frac{a(x-2)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)^2}{(x-1)^2(x-2)} \\ \\ \text{분모를 곱한다.} \\ x&=a(x-2)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)^2 \end{aligned}$

$x=1$ 을 대입하면 $a=-1$ 이다. $x=2$ 를 대입하면 $c=2$ 이다. $a=-1$ 과 $c=2$ 를 대입하면

$\begin{aligned} b(x-1)(x-2)&=x+(x-2)-2(x-1)^2=-2x^2+6x-4=-2(x-1)(x-2) \\ \implies b&=-2 \end{aligned}$

따라서

$\begin{aligned} \int_3^\infty\frac{x}{(x-1)^2(x-2)}\,\mathrm{d}x &=\lim_{M\rightarrow\infty} \int_3^M\left(-\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{2}{x-1}+\frac{2}{x-2}\right)\,\mathrm{d}x \\ &=\lim_{M\rightarrow\infty} \left[\frac{1}{x-1}-2\log|x-1|+2\log|x-2|\right]_3^M\\ &=\lim_{M\rightarrow\infty} \bigg[\frac{1}{x-1}+2\log\bigg|\frac{x-2}{x-1}\bigg|\bigg]_3^M\\ &=\lim_{M\rightarrow\infty} \bigg[\frac{1}{M-1}+2\log\bigg|\frac{M-2}{M-1}\bigg|\bigg] -\bigg[\frac{1}{3-1}+2\log\bigg|\frac{3-2}{3-1}\bigg|\bigg] \\ &=2\log 2-\frac{1}{2}\approx0.886 \end{aligned}$

이다. 왜냐하면

$\begin{aligned} \lim_{M\rightarrow\infty}\log\frac{M-2}{M-1} &=\lim_{M\rightarrow\infty}\log\frac{1-2/M}{1-1/M} =\log 1=0\\ \text{그리고}\qquad \log\frac{1}{2}&=-\log2 \end{aligned}$

이기 때문이다.

이 문제로 이어서 풀기

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