CLP-2 · 1.13절 · 19번대학 수준우리말 번역∫π/2πcosxsinx dx\displaystyle\int_{\pi/2}^\pi \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}~\mathrm{d}x∫π/2πsinxcosx dx 의 값을 구하세요. 영어 원문 보기Evaluate ∫π/2πcosxsinx dx\displaystyle\int_{\pi/2}^\pi \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}~\mathrm{d}x∫π/2πsinxcosx dx. 풀이 공책 펴기한 줄씩 식 확인답 쓰고 채점채점정답·풀이 보기먼저, sinπ=0\sin\pi=0sinπ=0 이므로 이 적분은 이상적분임에 주목한다. 따라서 극한을 사용해야 한다. 다음으로, 부정적분을 구해야 한다. 치환 u=sinxu=\sin xu=sinx, du=cosx dx\mathrm{d}u=\cos x~\mathrm{d}xdu=cosx dx 가 꼭 들어맞는다. ∫π/2πcosxsinx dx=limb→π−∫π/2bcosxsinx dx=limb→π−∫1sinb1u du=limb→π−[2u]1sinb=20−21=−2\begin{aligned} \int_{\pi/2}^\pi \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}~\mathrm{d}x&=\lim_{b \to \pi^-}\int_{\pi/2}^b \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}~\mathrm{d}x = \lim_{b \to \pi^-}\int_{1}^{\sin b} \frac{1}{\sqrt{u}}~\mathrm{d}u \\ &=\lim_{b \to \pi^-}\Big[2\sqrt{u}\Big]_{1}^{\sin b} = 2\sqrt{0} - 2\sqrt{1}=-2 \end{aligned}∫π/2πsinxcosx dx=b→π−lim∫π/2bsinxcosx dx=b→π−lim∫1sinbu1 du=b→π−lim[2u]1sinb=20−21=−2 원본 교재 풀이(영어)First, we note that the integral is improper, because sinπ=0\sin\pi=0sinπ=0. So, we'll have to use a limit. Second, we need to antidifferentiate. The substitution u=sinxu=\sin xu=sinx, du=cosx dx\mathrm{d}u=\cos x~\mathrm{d}xdu=cosx dx fits just right. ∫π/2πcosxsinx dx=limb→π−∫π/2bcosxsinx dx=limb→π−∫1sinb1u du=limb→π−[2u]1sinb=20−21=−2\begin{aligned} \int_{\pi/2}^\pi \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}~\mathrm{d}x&=\lim_{b \to \pi^-}\int_{\pi/2}^b \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}~\mathrm{d}x = \lim_{b \to \pi^-}\int_{1}^{\sin b} \frac{1}{\sqrt{u}}~\mathrm{d}u \\ &=\lim_{b \to \pi^-}\Big[2\sqrt{u}\Big]_{1}^{\sin b} = 2\sqrt{0} - 2\sqrt{1}=-2 \end{aligned}∫π/2πsinxcosx dx=b→π−lim∫π/2bsinxcosx dx=b→π−lim∫1sinbu1 du=b→π−lim[2u]1sinb=20−21=−2 한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.13절 · 18번우리말 번역(a) ∫x2(x3+1)101 dx{\displaystyle \int\frac{x^2}{(x^3 + 1)^{101}}\,\mathrm{d}x}∫(x3+1)101x2dx 의 값을 구하세요. (b) ∫cos3 x sin4 x dx\displaystyle\int \cos^3\!x\ \sin^4\!x\ \mathrm{d}x∫cos3x sin4x dx 의 값을 구하세요. 풀이 공책 펴기한 줄씩 식 확인답 쓰고 채점(a)부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요(b)부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요채점다 풀었으면 정답 확인(a) u=x3+1u=x^3+1u=x3+1, du=3x2 dx\mathrm{d}u=3x^2\,\mathrm{d}xdu=3x2dx 로 치환하면 ∫x2(x3+1)101dx=∫1u101⋅du3=u−100−100⋅13+C=−1300(x3+1)100+C\int\frac{x^2}{(x^3 + 1)^{101}}\mathrm{d}x =\int\frac{1}{u^{101}}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{3} =\frac{u^{-100}}{-100}\cdot\frac{1}{3}+C =-\frac{1}{300(x^3+1)^{100}} + C∫(x3+1)101x2dx=∫u1011⋅3du=−100u−100⋅31+C=−300(x3+1)1001+C (b) u=sinxu=\sin xu=sinx, du=cosx dx\mathrm{d}u=\cos x\ \mathrm{d}xdu=cosx dx, cos2x=1−sin2x=1−u2\cos^2 x = 1-\sin^2 x = 1-u^2cos2x=1−sin2x=1−u2 으로 치환하면 ∫cos3 x sin4 x dx=∫cos2 x sin4 x cosx dx=∫(1−u2)u4 du=∫(u4−u6) du=u55−u77+C=sin5 x5−sin7 x7+C\begin{aligned} \int \cos^3\!x\ \sin^4\!x\ \mathrm{d}x &=\int \cos^2\!x\ \sin^4\!x\ \cos x\ \mathrm{d}x =\int (1-u^2) u^4\ \mathrm{d}u\\ &=\int (u^4-u^6)\ \mathrm{d}u =\frac{u^5}{5}-\frac{u^7}{7}+C \\ &=\frac{\sin^5\!x}{5}-\frac{\sin^7\!x}{7}+C \end{aligned}∫cos3x sin4x dx=∫cos2x sin4x cosx dx=∫(1−u2)u4 du=∫(u4−u6) du=5u5−7u7+C=5sin5x−7sin7x+C 이 문제로 이어서 풀기 # 적분 전략 고르기계산●●●보통자동 분류