적분 전략 고르기 연습문제 — CLP-2 · 1.13절 · 21번

CLP-2 · 1.13절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle\int\frac{\sin^3x}{\cos^3x} \ \mathrm{d}x$ (b) $\displaystyle\int_{-2}^{2}\frac{x^4}{x^{10}+16}\ \mathrm{d}x$

영어 원문 보기

Evaluate these integrals.

(a) $\displaystyle\int\frac{\sin^3x}{\cos^3x} \ \mathrm{d}x$ (b) $\displaystyle\int_{-2}^{2}\frac{x^4}{x^{10}+16}\ \mathrm{d}x$

정답·풀이 보기

(a) $y=\cos x$ , $\mathrm{d}y=-\sin x\,\mathrm{d}x$ , $\sin^2 x = 1-\cos^2x=1-y^2$ 으로 치환하면

$\begin{aligned} \int \frac{\sin^3x}{\cos^3x}\ \mathrm{d}x &=\int \frac{\sin^2 x}{\cos^3 x}\ \sin x\,\mathrm{d}x =\int \frac{1-y^2}{y^3}\ (-\mathrm{d}y) =-\int \big( y^{-3}-y^{-1}\big)\ \mathrm{d}y\\ &=-\frac{y^{-2}}{-2}+\log|y|+C =\frac{1}{2}\sec^2 x+\log|\cos x|+C \end{aligned}$

(b) 피적분함수는 우함수이고 적분 구간은 원점에 대해 대칭이다. 따라서 아래끝을 0으로 바꾸고 적분값을 2배 하면 적분을 조금 간단히 할 수 있다.

여기서는 부분분수를 쓰지 않는 편이 좋다. 상당히 복잡해지기 때문이다. 대신 분자가 $x^5$ 의 도함수와 상수배만큼만 다르다는 점에 주목한다. $x^5=4y$ , $5x^4\,\mathrm{d}x=4\,\mathrm{d}y$ 로 치환하고, $x=2\implies 2^5=4y\implies y=8$ 임을 이용하면

$\begin{aligned} \int_{-2}^{2}\frac{x^4}{x^{10}+16}\ \mathrm{d}x &=2\int_0^{2}\frac{x^4}{x^{10}+16}\ \mathrm{d}x =2\cdot\frac{4}{5}\int_0^{8}\frac{1}{16y^2+16}\ \mathrm{d}y =\frac{1}{10}\int_0^{8}\frac{1}{y^2+1}\ \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{10}\arctan 8\approx 0.1446 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Substituting $y=\cos x$ , $\mathrm{d}y=-\sin x\,\mathrm{d}x$ , $\sin^2 x = 1-\cos^2x=1-y^2$

(b) The integrand is an even function, and the limits of integration are symmetric. So, we can slightly simplify the integral by replacing the lower limit with 0, and doubling the integral.

We'd rather not use partial fractions here, because it would be pretty complicated. Instead, notice that the numerator is only off by a constant from the derivative of $x^5$ . Substituting $x^5=4y$ , $5x^4\,\mathrm{d}x=4\,\mathrm{d}y$ , and using that $x=2\implies 2^5=4y\implies y=8$ ,

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.13절 · 22번우리말 번역

$\displaystyle\int x\sqrt{x-1}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

풀이 1: 치환 $u=x-1$ , $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ 를 이용하자.

$\begin{aligned} \int x\sqrt{x-1}~\mathrm{d}x&=\int(u+1)\sqrt{u}~\mathrm{d}u\\ &=\int \left(u^{3/2}+u^{1/2}\right)~\mathrm{d}u\\ &=\frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{2}{3}u^{3/2}+C\\ &=\frac{2}{5}(x-1)^{5/2} + \frac{2}{3}(x-1)^{3/2}+C \end{aligned}$

풀이 2: 피적분함수는 $x$ 에 적분할 수 있는 어떤 식이 곱해진 꼴이다. 따라서 $u=x$ , $\mathrm{d}v = \sqrt{x-1}~\mathrm{d}x$ 로 놓고 부분적분을 이용하면 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ (즉, $x$ 가 없어진다)이고 $v = \frac{2}{3}(x-1)^{3/2}$ 이다.

$\begin{aligned} \int x\sqrt{x-1}~\mathrm{d}x&=\frac{2}{3}x\sqrt{x-1}^3 - \frac{2}{3}\int(x-1)^{3/2}\mathrm{d}x \\ &= \frac{2}{3}x\sqrt{x-1}^3 - \frac{2}{3}\left(\frac{2}{5}(x-1)^{5/2}\right)+C\\ &=\frac{2}{3}\sqrt{x-1}\left(x(x-1)-\frac{2}{5}(x-1)^2\right)+C\\ &=\frac{2}{15}\sqrt{x-1}\cdot(3x^2-x-2)+C\\ &=\frac{2}{15}\sqrt{x-1}\cdot(3(x^2-2x+1)+5x-5)+C\\ &=\frac{2}{15}\sqrt{x-1}\cdot(3(x-1)^2+5(x-1))+C\\ &=\frac{2}{15}\cdot 3\sqrt{x-1}^5 +\frac{2}{15}\cdot 5\sqrt{x-1}^3+C\\ &=\frac{2}{5}\sqrt{x-1}^5 +\frac{2}{3}\sqrt{x-1}^3+C \end{aligned}$

지금까지 두 가지 풀이를 살펴보았다. 다른 풀이도 있다. 예를 들어 치환 $u=\sqrt{x-1}$ 을 이용할 수도 있다. 또 다른 예로, 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$x\sqrt{x-1} = (x-1)\sqrt{x-1} +\sqrt{x-1} = (x-1)^{3/2} + (x-1)^{1/2}$

그런 다음 도함수가 $(x-1)^{3/2}$ 인 함수와 도함수가 $(x-1)^{1/2}$ 인 함수를 각각 짐작하여 구하면 된다.

이 문제로 이어서 풀기

# 적분 전략 고르기계산보통자동 분류