적분 전략 고르기 연습문제 — CLP-2 · 1.13절 · 25번

CLP-2 · 1.13절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 적분의 값을 구하세요. $\displaystyle\int \frac{3x^2+4x+6}{(x+1)^3} \, \mathrm{d}x$ .

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{3x^2+4x+6}{(x+1)^3} \, \mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

부분분수 분해를 이용하면 이 식을 다루기 쉬운 조각들로 나눌 수 있다. 분모에 일차식 인수가 중복되어 있으므로, 그 인수의 거듭제곱으로 상수를 나눈 꼴들의 합으로 분해할 수 있다.

$\begin{aligned} \frac{3x^2+4x+6}{(x+1)^3} &=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{(x+1)^3}\\ &=\frac{A(x+1)^2+B(x+1)+C}{(x+1)^3}\\ \Rightarrow ~~~~ 3x^2+4x+6&=A(x+1)^2+B(x+1)+C\\ &=Ax^2+(2A+B)x+(A+B+C) \\ \text{따라서 계수를 비교하면:} \\ &A=3, ~2A+B=4,\text{ 그리고 } A+B+C=6\\ &A=3, ~B=-2,~C=5 \\ \text{그러므로:} \\ \frac{3x^2+4x+6}{(x+1)^3} &= \frac{ 3}{x+1}+\frac{ -2}{(x+1)^2}+\frac{ 5}{(x+1)^3} \\ \text{ 이제 $u=x+1$, $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ 로 치환하면 적분은 쉽다:} \\ \int\frac{3x^2+4x+6}{(x+1)^3} \mathrm{d}x&= \int\left(\frac{3}{x+1}+\frac{-2}{(x+1)^2}+\frac{5}{(x+1)^3}\right)\mathrm{d}x\\ &=\int \left( 3u^{-1}-2u^{-2}+5u^{-3}\right)\mathrm{d}u\\ &=3\log|u|+2u^{-1}-\frac{5}{2} u^{-2}+C\\ &=3\log|x+1|+\frac{2}{x+1}-\frac{5}{2(x+1)^2}+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We can use partial fraction decomposition to break this into chunks that we can deal with. The denominator has a repeated linear factor, so it can be decomposed as the sum of constants divided by powers of that factor.

$\begin{aligned} \frac{3x^2+4x+6}{(x+1)^3} &=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{(x+1)^3}\\ &=\frac{A(x+1)^2+B(x+1)+C}{(x+1)^3}\\ \Rightarrow ~~~~ 3x^2+4x+6&=A(x+1)^2+B(x+1)+C\\ &=Ax^2+(2A+B)x+(A+B+C) \\ \text{So, by matching coefficients:} \\ &A=3, ~2A+B=4,\text{ and } A+B+C=6\\ &A=3, ~B=-2,~C=5 \\ \text{Therefore:} \\ \frac{3x^2+4x+6}{(x+1)^3} &= \frac{ 3}{x+1}+\frac{ -2}{(x+1)^2}+\frac{ 5}{(x+1)^3} \\ \text{ Now, the integration is easy, with a substitution of $u=x+1$ and $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$:} \\ \int\frac{3x^2+4x+6}{(x+1)^3} \mathrm{d}x&= \int\left(\frac{3}{x+1}+\frac{-2}{(x+1)^2}+\frac{5}{(x+1)^3}\right)\mathrm{d}x\\ &=\int \left( 3u^{-1}-2u^{-2}+5u^{-3}\right)\mathrm{d}u\\ &=3\log|u|+2u^{-1}-\frac{5}{2} u^{-2}+C\\ &=3\log|x+1|+\frac{2}{x+1}-\frac{5}{2(x+1)^2}+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.13절 · 31번우리말 번역

$\displaystyle\int_1^e \frac{\log\sqrt{x}}{{x}}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

풀이 1: 로그의 성질에 의해 $\log\sqrt{x} = \log\left(x^{1/2}\right)=\frac{1}{2}\log x$ 이므로 다음과 같이 간단히 할 수 있다: $\int_1^e \frac{\log\sqrt{x}}{{x}}\mathrm{d}x =\int_1^e \frac{\log{x}}{{2x}}\mathrm{d}x$

치환 $u=\log x$ , $\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\mathrm{d}x$ 를 사용한다:

$\begin{aligned} \int_1^e \frac{\log{x}}{{2x}}\mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int_1^e \underbrace{\log(x)}_{u}\cdot\underbrace{\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}\\ &=\frac{1}{2}\int_{\log(1)}^{\log(e)}u\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2}u^2\right]_0^1\\ &=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}-0\right]=\dfrac{1}{4} \end{aligned}$

풀이 2: 치환 $u=\log\sqrt{x}$ 를 사용한다. 그러면 $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2x}$ 이므로 $2\mathrm{d}u=\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x$ 이다. 이는 주어진 적분에 딱 맞는다!

$\begin{aligned} \int_1^e\frac{\log\sqrt{x}}{x}\mathrm{d}x &= \int_{\log\sqrt{1}}^{\log\sqrt{e}}u\cdot 2\mathrm{d}u \\ &=\Big[u^2\Big]_{0}^{1/2}\\ &=\left(\frac{1}{2}\right)^2-0^2=\frac{1}{4} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 적분 전략 고르기계산보통자동 분류