적분 전략 고르기 연습문제 — CLP-2 · 1.13절 · 37번

CLP-2 · 1.13절 · 37번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int\frac{xe^x}{(x+1)^2}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int\frac{xe^x}{(x+1)^2}~\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

처음에는 치환 $u=x+1$ 이 괜찮아 보이지만, 쉽게 적분할 수 있는 꼴이 되지는 않는다. 적분하려는 함수가 유리함수가 아니므로 부분분수 분해는 쓸 수 없다. 삼각치환 계열의 문제로도 보이지 않는다. 그러므로 부분적분을 생각해 보자. 피적분함수를 두 부분으로 나누는 방법은 여러 가지가 있다. 예를 들어 $\Big(\frac{x}{(x+1)^2}\Big)\Big(e^x\Big)$ 으로 볼 수도 있고, $\Big(\frac{x}{x+1}\Big)\Big(\frac{e^x}{x+1}\Big)$ 으로 볼 수도 있다. 몇 차례 시행착오를 거쳐 $u=xe^x$ , $\mathrm{d}v=(x+1)^{-2}~\mathrm{d}x$ 로 정한다. 그러면 $\mathrm{d}u=e^x(x+1)$ 이고 $v=\frac{-1}{x+1}$ 이다.

$\begin{aligned} \int\frac{xe^x}{(x+1)^2}~\mathrm{d}x&=-\frac{xe^x}{x+1} +\int \frac{e^x(x+1)}{x+1}\mathrm{d}x \\&=-\frac{xe^x}{x+1} +\int e^x\mathrm{d}x\\ &=-\frac{xe^x}{x+1}+e^x+C \\&= \frac{e^x}{x+1}+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The substitution $u=x+1$ looks promising at first, but doesn't result in something easily integrable. We can't use partial fractions because our integration isn't rational. This doesn't look like something from the trig-substitution family. So, let's think about integration by parts. There's a lot of different ways we could break up the integrand into two parts. For example, we could view it as $\Big(\frac{x}{(x+1)^2}\Big)\Big(e^x\Big)$ , or we could view it as $\Big(\frac{x}{x+1}\Big)\Big(\frac{e^x}{x+1}\Big)$ . After some trial and error, we settle on $u=xe^x$ and $\mathrm{d}v=(x+1)^{-2}~\mathrm{d}x$ . Then $\mathrm{d}u=e^x(x+1)$ and $v=\frac{-1}{x+1}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.13절 · 7번우리말 번역

$\displaystyle\int\frac{x}{x^2-3}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

분모의 도함수가 분자에 나타나고 상수배만큼만 다르므로 치환을 한다. 구체적으로 $u=x^2-3$ , $\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$ 로 치환한다. 그러면 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} \int\frac{x}{x^2-3}\mathrm{d}x =\int\frac{\mathrm{d}u/2}{u} =\frac{1}{2}\log|u| + C =\frac{1}{2}\log\big|x^2-3\big| + C \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 적분 전략 고르기계산도전자동 분류